Question

UFPR - 2009

Sabendo que a aresta do cubo ao lado mede 6 cm, considere as seguintes afirmativas:

1. A área do triângulo ACD é 9 cm2.
2. O volume da pirâmide ABCD é 1/6 do volume do cubo.
3. A altura do triângulo ABC relativa a qualquer um dos lados mede 3 cm.

Assinale a alternativa correta.

a)Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

b)Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

c)Somente a afirmativa 2 é verdadeira.

d)Somente a afirmativa 1 é verdadeira.

e)Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.

Answer 1

Olá.

 

Temos uma questão de Geometria Plana.

Para a resolução dessa questão, usaremos as algumas fórmulas, que apresento abaixo.

Altura Relativa no Triângulo Retângulo:
$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{a\cdot x=b\cdot c}}}}$,
Onde x é a altura relativa. As demais retas estão na imagem em anexo.

Área do Triângulo:
$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}}}}}$
Onde:
A: Área;
b: base;
h: altura.

 

Teorema de Pitágoras
$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{h^2=c^2+c^2}}}}$
Onde:
h = hipotenusa = a;
c = catetos = b e c.

 

Vamos analisar cada uma das assertivas.

 

“1. A área do triângulo ACD é 9 cm²”.

Usarei a fórmula da área pra calcular, onde a base e a altura valem 6. Teremos:

$\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}}}\\\\ \mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{6\cdot6}{2}}}\\\\ \mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{36}{2}}}\\\\ \boxed{\mathsf{A_{\triangle}=18}}$

 

Incorreto, pois a área é 18cm².

 

“2. O volume da pirâmide ABCD é 1/6 do volume do cubo.”

O volume de uma pirâmide irá corresponder a 1/3 de um cubo de mesma altura e base. Como no caso corresponde à metade, teremos:

$\mathsf{V=\dfrac{1}{3}\div2=}\\\\\mathsf{V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=}\\\\\boxed{\mathsf{V=\dfrac{1}{6}}}$

 

Correto, como foi comprovado acima.

 

“3. A altura do triângulo ABC relativa a qualquer um dos lados mede 3 cm.”

Para calcular a altura relativa, primeiro vamos encontrar o valor do a na figura.

$\mathsf{h^2=c^2+c^2}\\\\ \mathsf{h^2=6^2+6^2}\\\\ \mathsf{h^2=36+36}\\\\ \mathsf{h^2=72}\\\\ \mathsf{h=\sqrt{72}}\\\\ \boxed{\mathsf{h=6\sqrt{2}}}$

 

Sabendo que a corresponde ao h de hipotenusa, vamos aos cálculos da altura relativa (x).

$\mathsf{a\cdot x=b\cdot c}\\\\ \mathsf{6\sqrt2\cdot x=6\cdot6}\\\\ \mathsf{6\sqrt2\cdot x=36}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{36}{6\sqrt2}}\\\\ \boxed{\begin{array}{l}\mathsf{x=6\sqrt2}\\\\ \mathsf{x\approx4,24}\end{array}}$

Incorreto. A altura relativa será aproximadamente igual a 4,24.

 

A alternativa correta está na alternativa C: Somente a afirmativa 2 é verdadeira.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.