Question

Calcule o limite no infinito

     $\lim\limits_{x\to \infty}x\ln\sqrt{\dfrac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}$

sem recorrer às regras de L'Hôpital.

Answer 1

Olá Lukyo

$\mathsf{ L= \lim_{x \to \infty} x*ln(\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}})}\\\\\mathsf{L= \lim_{x \to \infty} x*ln(\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}})}\\\\\mathsf{L= \lim_{x \to \infty} x*(ln\sqrt{1+\frac{1}{x}}-ln\sqrt{1-\frac{1}{x}})}\\\\\mathsf{L= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{2}(ln(1+\frac{1}{x})-ln(1-\frac{1}{x}))}$

Considerando $y=\frac{1}{x}\implies x=\frac{1}{y}$, temos que se $x\to \infty$ , $y \to 0$, assim:

$\mathsf{L= \lim_{y \to 0} \frac{1}{2y}(ln(1+y)-ln(1-y)}\\\\\mathsf{L=\frac{1}{2}lim_{y\to 0}(ln(1+y)^{\frac{1}{y}}-ln(1-y)^{\frac{1}{y}}}\\\\L=\mathsf{\frac{1}{2}lim_{y\to 0}(ln(1+y)^{\frac{1}{y}}+ln(1-y)^{-\frac{1}{y}}}$

Aplicando o limite $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$ derivado do fundamental $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e$, temos:

$\mathsf{L=\frac{1}{2}*(ln(e)+ln(e))}\\\\\mathsf{L=\frac{2lne}{2}}\\\\\mathsf{L=lne}\\\\\mathsf{\boxed{L=1}}$

Dúvidas? Comente.