Question

Considere a função f(x)=3x²-x-2.
a) Determine a area da região limitada por f(x).

b)Calcule a area limitada por f(x) de x=1 a x=3.

Answer 1

f(x)=3x² - x - 2

a) Determine a área da região limitada por f(x).

A área delimitada por uma função é dada pela integral da mesma.
Portanto, vamos integrar f(x).

$\int\limits {f(x)} \, dx = \int\limits {3 x^{2} - x - 2} \, dx$

$\int\limits {3 x^{2} - x - 2} \, dx = \frac{3 x^{3} }{3} - \frac{ x^{2} }{2} - 2x$

$\int\limits {3 x^{2} - x - 2} \, dx = x^{3}- \frac{ x^{2} }{2} - 2x$

f(x) tem as raízes (-2/3) e 1.  Vamos encontrar a área delimitada por estes pontos.

Limite Superior:
x = 1

$x^{3} - \frac{ x^{2} }{2y} - 2x = 1^{3} - \frac{ 1^{2} }{2} - 2*1 = -1,5$

Limite inferior:
x = -2/3

$x^{3} - \frac{ x^{2} }{2y} - 2x = (-2/3)^{3} - \frac{(-2/3)^{2} }{2} - 2*(-2/3) = \frac{22}{27}$

Área = Limite Superior - Limite Inferior
Área = -1,5 - (22/27) 

Fazendo o MMC e a soma, teremos que:
Área = -125/54.

>>RESPOSTA:  A Área é de (125/54) e se localiza abaixo do eixo "x".

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b) Calcule a área limitada por f(x) de x=1 a x=3.

Basta fazer a integração de 1 a 3. Como já temos o resultado da Integral, vamos apenas aplicar a variação.

Limite Superior:
x = 3

$x^{3} - \frac{ x^{2} }{2y} - 2x = 3^{3} - \frac{ 3^{2} }{2} - 2*3 = 16,5$

Limite inferior:
x = 1

$x^{3} - \frac{ x^{2} }{2y} - 2x = 1^{3} - \frac{ 1^{2} }{2} - 2*1 = -1,5$

Área = Limite Superior - Limite Inferior
Área = 16,5 - (-1,5) = 16,5 + 1,5 = 18.

>>RESPOSTA: A área de x =1 a x=3 é  18.