Question

(ITA) Uma caixa branca contém 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contém 3 bolas verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, 2 dados são atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retirase uma bola da caixa preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde?

Answer 1

$\bold{ITA} \ sendo \ \bold{ITA}... \ enfim \ :$

$P_{(n)_{(r_x)}} \ = \ \frac{n!}{r_x!} \ \rightarrow \\ \\ P_{(n)_{(r_x)}} \ \longrightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ com \ r_x \ repeti\c{c}\~oes.$

$C_{(n,p)} \ / \ C^p_n \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \ \rightarrow \\ \\ C_{(n,p)} \ / \ C^p_n \ \rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ vagas \\ (permuta\c{c}\~oes \ desconsideradas \ por \ 'p!')$

$As \ retiradas \ na \ caixa \ branca \ e \ na \ caixa \ preta \ s\~ao \\ \bold{eventos \ independentes!}$

$Vamos \ come\c{c}ar \ pensando \ em \ todas \ as \ somas \ poss\'iveis$$para \ os \ resultados \ dos \ dados.$

$Teremos \ que \ usar \ mais \ 'PFC' \ aqui \ \dots \ \longrightarrow \\ \\ Existem \ (6 \ \cdot \ 6) \ = \ 36 \ resultados \ poss\'iveis.$

$Mas \ sejamos \ espertos \ : \ a \ soma \ \'e \ muito \ pequena, \ f\'acil \\ de \ se \ achar \ os \ valores \ que \ resultem \ em \ soma \ menor \ do \ que \ 4. \\ \\ Eles \ s\~ao: \\ \\ \longrightarrow \ (1,1) \ \cdot \ \underbrace{P_{(2)_{(2)}}}_{Permuta\c{c}\~oes \ dos \ resultados \ (2 \ repeti\c{c}\~oes)} \ = \ \frac{2!}{2!} \ = \ \boxed{1 \ caso}$

$\longrightarrow \ (2,1) \ \cdot \ \underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permuta\c{c}\~oes \ dos \ resultados \ (0 \ repeti\c{c}\~oes)} \ = \ \frac{2!}{0!} \ = \ \boxed{2 \ casos}$

$O \ resto \ dos \ casos \ ([1 \ + \ 3], \ [2 \ + \ 2], etc) \ d\~ao \ valores \ \geq \ 4.$

$De \ 36, \ 3 \ casos \ d\~ao \ somas \ menores \ do \ que \ 4. \\ Ou \ seja, \ (36 \ - \ 3) \ = \ 33 \ casos \ resultam \ em \ soma \ \geq 4. \\ \\ Sendo \ a \ restri\c{c}\~ao \ da \ caixa \ branca \ o \ resultado \ ser \ \ \textless \ \ 4, temos : \\ \\ p_{(retirada)_{(branca)}} \ = \ \frac{3}{36} \ = \ \boxed{\frac{1}{12}} \\ \\ E \ logo, \ para \ a \ caixa \ preta : \\ \\ p_{(retirada)_{(preta)}} \ = \ \frac{33}{36} \ = \ \boxed{\frac{11}{12}}$

$Agora \ sim: \\ \\ Casos \ totais \ para \ a \ caixa \ branca \ \Rightarrow \\ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ = \ (5 \ + \ 3) \ = \ 8 \ bolas \ em \ p \ = \ 1 \ vaga \\ (retirada) : \\ \\ C_{(8,1)} \ = \ \frac{8!}{7! \ \cdot \ 1!} \ \rightarrow \ \frac{8 \ \cdot \ \not{7!}}{\not{7!}} \ = \ \boxed{8 \ possibilidades}$

$Casos \ favor\'aveis \ \Rightarrow \\ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ = \ 5 \ bolas \ verdes \ em \ p \ = \ 1 \ vaga : \\ \\ C_{(5,1)} \ = \ \frac{5!}{4! \ \cdot \ 1!} \ \rightarrow \ \frac{5 \ \cdot \ \not{4!}}{\not{4!}} \ = \ \boxed{5 \ possibilidades}$

$A \ probabilidade \ fica : \\ \\ \boxed{\frac{5}{8} \ possibilidades \ de \ tirar \ bola \ verde \ da \ caixa \ branca}$

$Casos \ totais \ para \ a \ caixa \ preta \ \Rightarrow \\ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ = \ (3 \ + \ 2) \ = \ 5 \ bolas \ em \ p \ = \ 1 \ vaga \\ (retirada) : \\ \\ C_{(5,1)} \ = \ \frac{5!}{4! \ \cdot \ 1!} \ \rightarrow \ \frac{5 \ \cdot \ \not{4!}}{\not{4!}} \ = \ \boxed{5 \ possibilidades}$

$Casos \ favor\'aveis \ \Rightarrow \\ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ = \ 3 \ bolas \ verdes \ em \ p \ = \ 1 \ vaga : \\ \\ C_{(3,1)} \ = \ \frac{3!}{2! \ \cdot \ 1!} \ \rightarrow \ \frac{3 \ \cdot \ \not{2!}}{\not{2!}} \ = \ \boxed{3 \ possibilidades}$

$A \ probabilidade \ fica : \\ \\ \boxed{\frac{3}{5} \ possibilidades \ de \ tirar \ bola \ verde \ da \ caixa \ preta}$

$Juntando \ estes \ \bold{casos \ independentes} \ \Rightarrow \\ \\ \underbrace{\frac{1}{12} \ \cdot \ \frac{5}{8}}_{caixa \ branca} \ + \ \underbrace{\frac{11}{12} \ \cdot \ \frac{3}{5}}_{caixa \ preta} \ \rightarrow \\ \\ \frac{5}{96} \ + \ \frac{33}{60} \ \rightarrow \ MMC \ : \ 480 : \\ \\ \frac{5 \ \cdot \ 5 \ + \ 33 \ \cdot \ 8}{480} \ \rightarrow \\ \\ \frac{25 \ + \ 264}{480} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{289}{480}}} \ \Rightarrow \ Probabilidade \ de \ se \ retirar \ uma \ bola \ verde!$