Question

Encontre a equação da reta tangente à curva f(x)=$<var>\frac{2x}{x^2+3}</var>$ no ponto $<var>x_{0}</var>$=2

Answer 1

Trata-se de calcular a derivada da função f(x) e depois calcular o valor da derivada para x=xo=2

Usaremos a regra da divisão de funções:

$\left (\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \\ \\ f'(x)=\frac{2(x^2+3)-2x(2x)}{(x^2+3)^2}=\frac{2x^2+6-4x^2}{(x^2+3)^2}=\frac{6-2x^2}{(x^2+3)^2} \\ \\ x_0=2 \\ \\ \boxed{f'(2)=\frac{6-2.2^2}{(2^2+3)^2}=\frac{6-8}{49}=-\frac{2}{49}}$

Sabendo que a reta passa pelo ponto xo=2 então pela função:
$y=\frac{2x}{x^2+3}=\frac{4}{7}$

A equação da reta tangente é:

$y-\frac{4}{7}=-\frac{2}{49}(x-2) \\ \\ 49y-28=2x-4 \\ \\ \boxed{2x-49y+24=0}$