Question

O Século XVII testemunhou um grande desenvolvimento na ciência térmica experimental estimulado pela invenção de muitos instrumentos científicos novos. Um desses, o termômetro de mercúrio em vidro de Fahrenheit, apareceu no início do século e pavimentou o caminho para grande parte do progresso em ciência térmica. O trabalho de habilidosos cientistas e mecânicos forneceu outra ferramenta necessária para o estudo da expansão térmica dos sólidos, instrumentos para medida de deslocamentos muito pequenos. Um estímulo inicial para a medida do coeficiente de expansão térmica veio de medidas de precisão de tempo. A descoberta de Galileu do isocronismo das oscilações do pêndulo levou ao desenvolvimento do relógio de pêndulo por Christian Huygens em 1656. Em 1670, um longo pêndulo que marcava os segundos foi criado, mas logo ficou evidente que o período do pêndulo dependia criticamente de seu comprimento, que por sua vez dependia da temperatura. Uma variação de 10oC na temperatura causava uma mudança no período de 0,01%. Este efeito mais tarde foi corrigido pelo uso de um pêndulo bimetálico que cancelava o efeito da expansão térmica. Um pêndulo de segundos teoricamente deveria ter um período de 2 s, 1s para se afastar do ponto onde o movimento começa e 1s para voltar ao mesmo ponto. Considere um relógio com um desses pêndulos de metal, anterior à correção relatada no texto. O comprimento do pêndulo a 24 oC é de aproximadamente 1m e seu período, 2s e quando a temperatura é de 34 oC, o período passa a 2,0002s. Sabendo que o período de um pêndulo simples é de (imagem abaixo) , onde L representa seu comprimento e g é o módulo da aceleração da gravidade no local onde se encontra o pêndulo, g=10m/s2, calcule o coeficiente linear de dilatação térmica do material de que foi feito tal pêndulo, assumindo que ele possa ser considerado um pêndulo simples.

Answer 1

A Equação do pêndulo simples é:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

T é período, L é comprimento e g a aceleração da gravidade.

Ao substituirmos os valores do enunciado para a temperatura de 34 graus Celsius e considerar pi=3,14:

$2,0002 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$

$2,0002 = 6,28\sqrt{\frac{L}{10}}$

$(\frac{2,0002}{6,28})^2 = \frac{L}{10}$

$(\frac{2,0002 }{6,28})^2 \times10= L$
L = 1.01444278673 m

Se formos fazer para temperatura de 24 graus Celsius:
$2,000 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$
L = 1.0142399286

Para encontrar o coeficiente de dilatação linear temos que usar a equação:

$\Delta L = L_0 \times \alpha \times \Delta\theta$

Onde o Delta simboliza a diferença entre os valores e L_0 o comprimento inicial assim:

$\ 1,01444278673 - 1,0142399286=1,0142399286\times\alpha\times (34 - 24)$


$\frac{0,00020285813}{10,14239929}=\alpha$

$0,00002000100019=\alpha$

Assim o coeficiente de dilatação linear é aproximadamente 2*10^{-5} por grau Celsius.