Question

6 - Uma seleção de futebol, convocou 22 jogadores, sendo 2 goleiros e 20 jogadores divididos em: 4 zagueiros, 4 laterais, 8 Meio Campistas e 4 atacantes. Sabendo-se que joga SEMPRE: 1 goleiro, 2 laterais, 2 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes; com quantas formas diferentes, poderia-se armar um time?

Answer 1

Total de jogadores:  22

sendo

     •   2  goleiros;
     •   4  zagueiros;
     •   4  laterais;
     •   8  meio-campistas;
     •   4  atacantes.


Para montar um time, precisamos escolher exatamente

     •   1  goleiro;
     •   2  zagueiros;
     •   2  laterais;
     •   4  meio-campistas;
     •   2  atacantes.

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Primeiro, encontramos de quantos modos diferentes podemos escolher jogadores em cada posição, depois usamos o princípio multiplicativo.

     •   Goleiros:

     Devemos escolher  1  goleiro  entre  2  disponíveis:

     $C_{2,\,1}=\dfrac{2!}{1!\cdot (2-1)!}\\\\\\ C_{2,\,1}=\dfrac{2!}{1!\cdot 1!}\\\\\\ C_{2,\,1}=2\cdot 1\\\\\\ C_{2,\,1}=2\textrm{~~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$


     •   Zagueiros:

     Devemos escolher  2  zagueiros  entre  4  disponíveis:

     $C_{4,\,2}=\dfrac{4!}{2!\cdot (4-2)!}\\\\\\ C_{4,\,2}=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}\\\\\\ C_{4,\,2}=\dfrac{4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}{2\cdot 1\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}\\\\\\ C_{4,\,2}=\dfrac{12}{2}\\\\\\ C_{4,\,2}=6\textrm{~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$


     •   Laterais:

     Devemos escolher  2  laterais  entre  4  disponíveis:

     $C_{4,\,2}=6\textrm{~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$


     •   Meio-campistas:

     Devemos escolher  4  meio campistas  entre  8  disponíveis:

     $C_{8,\,4}=\dfrac{8!}{4!\cdot (8-4)!}\\\\\\ C_{8,\,4}=\dfrac{8!}{4!\cdot 4!}\\\\\\ C_{8,\,4}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}\\\\\\ C_{8,\,4}=70\textrm{~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$ 


     •   Atacantes:

     Devemos escolher  2  atacantes  entre  4  disponíveis:

     $C_{4,\,2}=6\textrm{~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$

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Dessa forma, pelo princípio multiplicativo, o total de maneiras diferentes para montar um time é

     $n=C_{2,\,1}\cdot C_{4,\,2}\cdot C_{4,\,2}\cdot C_{8,\,4}\cdot C_{4,\,2}\\\\ n=2\cdot 6\cdot 6\cdot 70\cdot 6$

     $n=30240\textrm{~maneiras}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)