Question

1 - Calcule a derivada da função exponencial. F(x) = e^(x^2- 5x+3)

2-Calcule a derivada da função exponencial. F(x) = 1/(4.e^2x ) - √(e^x )

Answer 1

$\boxed{\boxed{e^u = e^u * u'}}$

u' = derivada do u
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$f(x) = e^{x^2-5x+3}$

u = x²-5x +3
u' = 2x-5

a derivada fica
$f'(x) = e^{(x^2-5x+3)} * (2x-5)$
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$f(x) = \frac{1}{4*e^{2x}} - \sqrt{e^x } \\\\\boxed{f(x) = (4*e^{2x})^{-1} - \sqrt{e^x} }$

derivando a primeira parte $(4*e^{2x})^{-1}$

pela regra da cadeia
deriva a potencia..e depois multiplica pela derivada do que esta dentro do parenteses
$u^n = n*(u)^{n-1} * (u')$

neste caso  
$u = 4e^{2x}\\\\u' = 4e^{2x} * 2 = 8 e^{2x}$

a derivada da primeira parte fica
$-1*(4*e^{2x})^{-2} * 8e^{2x}\\\\= \frac{-1}{(4e^{2x})^2} *8e^{2x} \\\\= \frac{-8e^{2x}}{16e^{4x}} \\\\ =\boxed{\boxed{ \frac{-1}{2e^{2x}} }}$

derivando a segunda parte $\sqrt{e^x}$

lembrando que a derivada de $\sqrt{u} = \frac{1}{2 \sqrt{u} } * u'$

neste caso
u = e^x
u' = e^x 

a derivada fica
$\frac{1}{2 \sqrt{e^x} } * e^x} = \boxed{ \frac{e^x}{2 \sqrt{e^x} } }$

se quiser tirar a raiz do denominador
$\frac{e^x * \sqrt{e^x} }{2*\sqrt{e^x} * \sqrt{e^x}}= \frac{e^x*\sqrt{e^x}}{2* e^x}= \frac{\sqrt{e^x}}{2}$

a derivada da função fica

$f(x) = \frac{1}{4*e^{2x}} - \sqrt{e^x } \\\\ \boxed{\boxed{f'(x) = \frac{-1}{2e^{2x}} - \frac{ \sqrt{e^x} }{2} }}$