Question

ATIVIDADE DE MATEMÁTICA SOBRE CIRCUNFERÊNCIA

1º Determine, em cada caso, a posição relativa da reta s em relação á circunferência. Se houver pontos comuns (tangentes ou secantes), determine esses pontos
.
a) s: x + y = 6 e (x-1)² + (y-1)² = 8
b) s: x - y = 1 e x² + y² = 1
c) s: y = x + 3 e x² + y² - 2x = 0

Answer 1

1º Temos que descobrir o centro das circunferências, e com esse ponto calcular a distância entre ele e a reta.

a equação reduzida da circunferência segue o modelo (x-a)² + (y-b)² = R², sendo assim é só multiplicar o "a", "b" por -1.
distância entre ponto e reta: $d = \frac{|ax + by + c|}{ \sqrt{ a^{2}+ b^{2} } }$

Em a)
R = $2 \sqrt{2})$ C(1;1) e s: x + y -6 = 0 (ou seja a=1, b=1, c=-6)
$d = \frac{|1.1 + 1.1 + -6|}{ \sqrt{ 1^{2}+ 1^{2} } }$
$d = \frac{|-4|}{ \sqrt{ 2} }= \frac{2}{ \sqrt{2} } . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2.\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Como a distância é menor que o raio, conclui-se que a reta é secante à circunferência.

Em b)
R=1 C(0;0) e x -y -1 = 0, então a = 1, b = -1 e c = -1

$d = \frac{|ax + by + c|}{ \sqrt{ a^{2}+ b^{2} } } = \frac{|c|}{ \sqrt{ a^{2}+ b^{2} } }$
$\frac{|-1|}{ \sqrt{ 1+ 1 } } = \frac{|-1|}{ \sqrt{ 2 } } = \frac{1}{ \sqrt{2} }$
$\frac{1}{ \sqrt{2} } . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Como $\frac{\sqrt{2}}{2}$ é aproximadamente 0,7 e o raio da circunferência é igual a 1, dizemos que a reta é secante à circunferência, já que ela "corta" a circunferência em dois pontos.

Em c)
A equação da circunferência está na forma geral, para descobrir o centro é só dividir o coeficiente que multiplica o x, e o y por -2. 
Sendo assim $x= \frac{-2}{-2} = 1$, o número que multiplica o y é 0, por isso y=0.
Portanto C(-2;0)
Na equação geral da circunferência, o raio pode ser encontrado da seguinte forma: $R = \sqrt{ a^{2}+ b^{2} -P } = \sqrt{ -2^{2}+0-0} = \sqrt{4} =2$
Portanto R = 2
Sendo s: y -x -3 = 0 ~> a = 1, b = -1, c = -3
$d = \frac{|ax + by + c|}{ \sqrt{ a^{2}+ b^{2} } } = d = \frac{|1.-2 -1.0 -3|}{ \sqrt{ -2^{2}+ 0^{2} } }$
$d = \frac{|-2-3|}{ \sqrt{ 4 } } = \frac{|-5|}{ 2 }= \frac{5}{2} = 2,5$

Como a distância é maior que o raio pode-se dizer que a reta é externa a circunferência.