Question

Um artesão produz lembranças que vende a turistas por x reais cada uma. Com esse preço, ele sabe, por experiência, que seu lucro mensal é obtido da expressão L(x) = −400x ² + 7200 x − 18000 Determine, em reais, o preço pelo qual ele deverá vender cada lembrança para obter o maior lucro mensal possível.

Answer 1

deveremos indicar qual será o lucro mensal máximo em cada mês, e a faixa em que o artesão SEMPRE terá lucro (embora esse lucro não seja o máximo). 
Note que a expressão que fornece o lucro mensal é esta: 

L(x) = 400*(15-x)*(x-3) ---- efetuando este produto teremos; 
L(x) = -400x² + 7.200x - 18.000 

Se você aplicar Bháskara,  vai encontrar que as raízes dessa expressão serão: 

x' = 3 
x'' = 15. 

Agora vamos ver qual é a variação de sinais da expressão dada: 

L(x) = -400x² + 7.200x - 18.000 ..- - - - - -  (3) + + + + + + (15)- - - - - - - - - -

Veja: o artesão SEMPRE terá lucro se vender entre "3" e "15" unidades de lembranças aos turistas. 
Agora se você quer o lucro máximo, então basta encontrar qual é o "x" e o "y" do vértice (xv e yv), que serão dados pelas fórmulas seguintes:

xv = -b/2a ---- substituindo-se "b" por "7.200" e "a" por "-400", teremos: 
xv = -7.200/2*(-400)
xv = -7.200/-800 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então: 
xv = 7.200/800 
xv = 9 unidades de lembranças <--- Este será o número de lembranças que o artesão deveria vender para obter o lucro máximo. 

Agora vamos ver qual é esse lucro máximo. Para isso, basta irmos na função L(x) = - 400x² + 7.200x - 18.000 e substituir "x" por "9". Assim: 
L(9) = -400*9² + 7.200*9 - 18.000
L(9) = -400*81 + 7.200*9 - 18.000
L(9) = -32.400 + 64.800 - 18.000 --- ou, o que é a mesma coisa: 
L(9) = -32.400 - 18.000 + 64.800 
L(9) = - 50.400 + 64.800 
L(9) = 14.400,00 <--- Este seria o valor do lucro máximo, que será obtido quando o artesão vender 9 unidades de lembranças. 

Uma outra forma de encontrar o lucro máximo seria aplicar diretamente a fórmula do "y" do vértice (yv), que é esta:

yv = - (b²-4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por 7.200, "a" por "-400" e "c" por "-18.000", teremos: 

yv = - (7.200² - 4*(-400)*(-18.000)/-4*400
yv = - (51.840.000 - 28.800.000)/-1.600
yv = - (23.040.000)/-1.600 --- como, na divisão, menos com menos dá mais, então: 

yv = 23.040.000/1.600 --- veja que esta divisão dá exatamente14.400. Logo:
yv = 14.400,00 <--- Veja que a resposta é a mesma para o lucro máximo.