Question

Determine a lei da função f quadrática no seguinte caso:
f(0) = 1, f(2) = 3 e o zero da função é 1.

Answer 1

Se você tem que f é uma função quadrática, ela vai assumir a forma geral de:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

A questão diz as seguintes afirmações sobre essa função:

$f(0) = 1 f(2) = 3$

Ela diz tambem que essa função tem apenas uma solução, que é 1. Isso implica que o delta da função é igual a 0. Logo...

$f(1) = 0 \Delta = 0$

Vamos continuar a questão usando o que sabemos do delta:

$b^2 - 4ac = 0 b^2 = 4ac$
Já temos b em função de a e de c.

Vamos, então, seguir a primeira afirmação, que diz que f(0) = 1:

$f(0) = 1 a * 0^2 + b * 0 + c = 1 c = 1$
Descobrimos o c!

Agora vamos seguir a afirmação f(1) = 0:

$f(1) = 0 a \ast 1^2 + b \ast 1 + c = 0 a + b + c = 0$

Substituindo c por 1 e b pela definição que nós achamos previamente:

$a + 2\sqrt{ac} + 1 = 0 a + 2\sqrt{a} + 1 = 0 a + 2\sqrt{a} = -1$

Para resolver isso aqui e achar a, vamos ter que isolar a raiz e elevar tudo ao quadrado:

$a + 2\sqrt{a} = -1 a + 1 = -2\sqrt{a} (a + 1)^2 = (-2\sqrt{a})^2 a^2 + 2a + 1 = 4a$

Agora basta calcular o a:

$a^2 - 2a + 1 = 0 \Delta = 4 - 4 \ast 1 \ast 1 \Delta = 0$

$a = \frac{2 \pm 0}{2} a = 1$

Ótimo! Descobrimos que a é 1 também.

Agora é só jogar na fórmula de b em função de a:

$b = 2 \sqrt{ac} b = 2 \sqrt{1 \ast 1} b = 2 \sqrt{1} b = 2$

Temos os três valores:

$\left \{ {{a=1} \atop {b=2} \atop {c=1} } \right.$

Então a função é:

$f(x) = x^2 + 2x + 1$