Question

Qual o valor de a

$\log_{9a} \sqrt{27} = \frac{1}{2}$

Answer 1

Incialmente, vamos colocar as restrições impostas pelo logaritmo. Como $9a$ é a base de um log, devemos ter: $9a\ \textgreater \ 0\Longrightarrow a\ \textgreater \ 0$ e $9a\neq1\Longrightarrow a\neq\dfrac{1}{9}$.

Vamos manipular a expressão dada:

 $\log_{9a}\sqrt{27}=\dfrac{1}{2}\\\\ \log_{9a}(27)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}~~~~~~~~\overline{\underline{\text{Propriedade:}~\log_b (a^N)=N\cdot \log_b a}}\\\\ \dfrac{1}{2}\cdot \log_{9a}(27)=\dfrac{1}{2}\\\\ \log_{9a}(27)=1$

Agora, vamos a aplicar a definição da função logaritmo, qual seja:

$\log_b a=x\Longrightarrow b^x=a$

Assim:

$\log_{9a}(27)=1\\\\ (9a)^1=27\\\\ 9a=27\\\\ a=\dfrac{27}{9}\\\\ \boxed{a=3}$

Como esse valor obtido atende às restrições verificadas no início da resolução, temos que, de fato, a=3.