Question

Determine a área limitada pelas curvas: y =$x^{2}$ e y= x\sqrt{x} [/tex]

Answer 1

Área entre as curvas:

$y=x^{2} \\ \\ y=\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x}}$

Temos q encontrar a interseção das curvas através do sistema:

$\displaystyle \left \{ {{y=x^{2}} \atop {y= \displaystyle \frac{x}{ \sqrt{x} } }} \right.$

E obtemos:

$\displaystyle x^{2}- \frac{x}{ \sqrt{x} }=0$

E percebemos que x = 0 e 1 representam raízes dessa função, e ao mesmo tempo, os pontos onde as duas funções iniciais se interceptam. Portanto, a integral entre as duas funções é:

$\displaystyle \int\limits^1_0 { \frac{x}{ \sqrt{x} } } \, dx - \displaystyle \int\limits^1_0 {x^{2}} \, dx \\ \\ \\ \to \frac{2}{3}- \frac{1}{3} = \boxed{\boxed{ \frac{1}{3} \, u.a }}$