Question

O comprimento L de um retangulo diminui a uma taxa de 2cm/s, enquanto a largura w aumenta a uma taxa de 2 cm/s. Determine as taxas de variação para:A)áreaB) O perímetroC) Os comprimentos das diagonais do retangulo quando L=12cm e w=5cmQuais medidas estao diminuindo e quais estao aumentando?(TAXAS RELACIONADAS)

Answer 1

a)

A área é dada pela expressão a = L.w, agora vamos derivar cada membro usando a regra da cadeia, substituindo os valores de w = 5, L = 12, dL/dt = -2 cm/s e dw/dt = 2 cm/s e utilizando as notações adequadas:

$a=Lw \\ \\ a=L'w+Lw' \\ \\ a=w \, \displaystyle \frac{dL}{dt} + L \, \displaystyle \frac{dw}{dt} \\ \\ a=5 \cdot (-2)+12 \cdot 2 \\ \\ a=14 \, \, cm^{2}/s$

b)

O perímetro é dado por p = w + w + L + L, rearranjando, derivando, utilizando as notações e substituindo os valores, temos:

$p=w+w+L+L \\ \\ p=2w+2L \\ \\ p=(2'w+2w')+(2'L+2L') \\ \\ p=2w'+2L' \\ \\ p=2 \displaystyle \frac{dw}{dt}+2\displaystyle \frac{dL}{dt} \\ \\ p=2 \cdot 2+ 2 \cdot (-2) \\ \\ p=0 \, \, cm/s$

c)

A diagonal do retângulo pode ser descoberta através do teorema de Pitágoras. Sabendo isso, vamos derivar e realizar o mesmo processo feito nas etapas anteriores para descobrir a taxa de variação da diagonal.

$d^{2}=L^{2}+w^{2} \\ \\ d=\sqrt{L^{2}+w^{2}} \\ \\ d= (L^{2}+w^{2})^{1/2} \\ \\ d= \displaystyle \frac{1}{2} \cdot (L^{2}+w^{2})^{-1/2} \cdot (L^{2}+w^{2})' \\ \\ d= \displaystyle \frac{1}{2} \cdot (L^{2}+w^{2})^{-1/2} \cdot 2L \, \frac{dL}{dt} +2w \, \frac{dw}{dt} \\ \\ \\ d= \frac{2L \, \frac{dL}{dt} +2w \, \frac{dw}{dt}}{2\sqrt{L^{2}+w^{2}}} \\ \\ \\ d=\frac{2(L \, \frac{dL}{dt} +w \, \frac{dw}{dt})}{2\sqrt{L^{2}+w^{2}}}$

$d=\displaystyle \frac{L \, \frac{dL}{dt} +w \, \frac{dw}{dt}}{\sqrt{L^{2}+w^{2}}} \\ \\ \\ d=\displaystyle \frac{12 \cdot (-2)+5 \cdot 2}{ \sqrt{12^{2}+5^{2}} } \\ \\ \\ d= -\frac{14}{13} \, cm/s$

A letra a é crescente, letra b é constante e c está decrescendo.

Answer 2

Para resolver problemas de taxas relacionadas adotamos o seguinte roteiro:

1)Identificar as variáveis

2) Achar uma relação entre as variáveis

3)Derivar em relação a variável de referência

4) Substituir os valores conhecidos

5) Isolar o que se deseja calcular.

1) no item a as variáveis são comprimento, largura e área. No item b, as variáveis são comprimento, largura e perímetro e no item c são a diagonal, o comprimento e a largura.

2)

a) A relação entre área, comprimento e largura é dada pela equação

$\mathsf{A=L.W}$

Dados:

$\dfrac{dL}{dt}=-2cm/s$

$\dfrac{dW}{dt}=2cm/s$

$L=12cm$

$W=5cm$

Derivando em relação ao tempo temos

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dL}{dt}.W+L.\dfrac{dW}{dt} }$

Substituindo os valores temos

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=-2.5+12.2=-10+24}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=14{cm}^{2}/s}}}$

b)

A relação entre perímetro, comprimento e largura é dada por

$\mathsf{P=2(L+W)}$

Derivando em relação a t temos

$\mathsf{\dfrac{dP}{dt}=2(\dfrac{dL}{dt}+\dfrac{dW}{dt}}$

Substituindo os valores temos

$\mathsf{\dfrac{dP}{dt}=2(-2+2)=0}$

Ou seja, o perímetro não cresce e nem decresce.

c) A relação entre diagonal x, comprimento e largura é

$\mathsf{{x}^{2}={L}^{2}+{W}^{2}}$

$\mathsf{{x}^{2}={12}^{2}+{5}^{2}}\\\mathsf{{x}^{2}=144+25}\\x=\sqrt{169}=13$

Derivando em relação a t temos

$\mathsf{2x\dfrac{dx}{dt}=2L\dfrac{dL}{dt}+2W\dfrac{dW}{dt}}$

Substituindo os valores:

$\mathsf{2.13\dfrac{dx}{dt}=2.12.(-2)+2.5.2}$

$\mathsf{\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{-48+20}{26}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{14}{13}cm/s}}}$

Taxa que está aumentando:

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{Área}}}$

Taxa que está diminuindo:

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{Diagonal}}}$