Question

O valor da derivada da função: f(x)=(x²-1)/(x-1) (para x=-5) é: (Dado: h'(x) = [f'(x).g(x) - f(x).g'(x)]/[g(x)]²
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A solução é 1,mas preciso ver o desenvolvimento detalhado para entender bem a solução.

Answer 1

Computar a derivada da função

     $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$

no ponto  x = − 5.


      •   Forma 1:  Usando as regras de derivação.

Pela regra para a derivada de um quociente, temos que

     $f'(x)=\left(\dfrac{x^2-1}{x-1}\right)'\\\\\\ f'(x)=\dfrac{(x^2-1)'\cdot (x-1)-(x^2-1)\cdot (x-1)'}{(x-1)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{(2x)\cdot (x-1)-(x^2-1)\cdot (1)}{(x-1)^2}$


e para  x = − 5,  temos

     $f'(-5)=\dfrac{(2\cdot (-5))\cdot (-5-1)-((-5)^2-1)\cdot (1)}{(-5-1)^2}\\\\\\ f'(-5)=\dfrac{(-10)\cdot (-6)-(25-1)\cdot (1)}{(-6)^2}\\\\\\ f'(-5)=\dfrac{(-10)\cdot (-6)-(24)\cdot (1)}{(-6)^2}\\\\\\ f'(-5)=\dfrac{60-24}{36}\\\\\\ f'(-5)=\dfrac{36}{36}$

     $f'(-5)=1$    <————    esta é a resposta.

—————

     •   Forma 2:  Simplificando a função.

     $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$


Observe que no numerador temos uma diferença entre quadrados. Logo, podemos simplificar usando produtos notáveis:

     $f(x)=\dfrac{(x-1)\cdot (x+1)}{x-1}$


Simplificando o fator comum  (x − 1),

      $f(x)=x+1\qquad\quad\textrm{para~~}x\ne 1$


Derivando, encontramos

     $f'(x)=(x+1)'\\\\ f'(x)=1\qquad\quad\textrm{para todo~~}x\ne 1.$


Em particular,  no ponto  x = − 5,

      $f'(-5)=1$    <————    novamente, esta é a resposta.


Bons estudos! :-)