Question

Sabe-se que os vetores (k,-1,0) e (2,-1,2) formam um angulo de 45º. Qual o valor de k? 
o valor de k 

Answer 1

angulo entre dois vetores
$\boxed{\boxed{cos (\theta ) = \frac{U*V}{|U| * |V|} }}$

U*V = produto escalar entre os vetores

temos
$U = (K;-1;0)\\\\|U| = \sqrt{K^2 + (-1)^2 + (0^2) }= \sqrt{K^2+1}$

$V = (2;-1;2)\\\\|V|= \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (2)^2} =3$

$\theta = 45 ^\circ\\\\cos(\theta) = cos(45) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

o produto escalar entre os vetores U e V
$U*V = (k;-1;0)*(2;-1;2)\\\\ U*V = (k*2) + (-1*-1) + (0*2)\\\\U*V = 2k +1$

substituindo os valores na formula
$\frac{ \sqrt{2} }{2}= \frac{2k+1}{( \sqrt{k^2+1})* 3 } \\\\ ( \frac{ \sqrt{2} }{2})^2=( \frac{2k+1}{( \sqrt{k^2+1})* 3 } )^2\\\\ \frac{2}{4}= \frac{(2k+1)^2}{(k^2+1)*9} \\\\ \frac{1}{2}= \frac{4k^2 +4k +1}{9k^2+9} \\\\9k^2 + 9 = 8k^2+8k+2\\\\ \boxed{k^2-8k +7 = 0}$

resolvendo essa equação do segundo grau
soma das raízes = 8
produto das raízes = 7

então os possiveis valores de K são 1 e 7