Question

URGENTE : Uma sala de aula é organizada com 50 carteiras em 10 filas com cinco carteiras casa uma. Certo dia oito alunos faltaram. De quantas maneiras os estudantes que foram à aula podem ocupar as carteiras??

Answer 1

$C_{(n,p)} \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \\ \\ C_{(n,p)} \ \longrightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ espa\c{c}os; \\ \\ P_{(n)} \ = \ n! \\ \\ P_{(n)} \ \longrightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ n\~ao \ repetidos.$

$Supondo \ que \ haja \ realmente \ 50 \ alunos \ (como \ h\'a \ carteiras) \ \Rightarrow \\ \\  Se \ 8 \ alunos \ faltaram \ \`as \ aulas, \ ent\~ao \ foram (50 \ - \ 8) \ = \ 42 \ alunos. \\ \\ Vamos \ escolher \ 42 \ de \ 50 \ carteiras \ para \ esses \ alunos, \ usando \\ a \ \bold{combina\c{c}\~ao}, \ porque \ ela \ desconta \ as \ permuta\c{c}\~oes \ internas$
$(e, \ neste \ caso, \ fica \ f\'acil \ de perceber \ que \ a \ ordem \ de \ escolha \ das \\ carteiras \ n\~ao \ importa). \\ \\ Em \ seguida, \ vamos \ simplesmente \ permutar \ os \ 42 \ alunos \ nas \\ carteiras, \ de \ forma \ livre, \ porque \ ningu\'em \ \'e \ igual \ e \ portanto \\ cada \ permuta\c{c}\~ao \ nos \ interessa.$

$Ou \ seja, \ fazemos \ \longrightarrow \\ \\ C_{(50,42)} \ \cdot \ P_{(42)} \ = \\ \\ \frac{50!}{8! \ \cdot \ \not{42!}} \ \cdot \ \not{42!} \ = \\ \\ \boxed{\boxed{\Bigg(\frac{50!}{8!}\Bigg) \ formas \ diferentes!}}$