Question

PROBABILIDADE - Em um jogo, cada uma das letras S, O, R, T e E é escrita em um cartão e colocada em um envelope. Uma pessoa recebe os envelopes e ordena-os sem abrir. Para cada letra que estiver na posição correta da palavra SORTE, ela ganha um prêmio em dinheiro.

a) Qual a probabilidade de ganhar o prêmio máximo?
b) Qual a probabilidade de que seja formado um anagrama que comece com S e termine com E?

Answer 1

$P_{(n)} \ = \ n! \\ \\ P_{(n)} \ \Rightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ n\~ao \ repetidos.$

$\bold{a)} \ SORTE \ tem \ 5 \ letras \ diferentes. \ Com \ elas, \ podemos \\ fazer \ os \ anagramas : \\ \\ P_{(5)} \ = 5! \ \rightarrow \\ \\ P_{(5)} \ = \ 5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1 \ = \ \boxed{120 \ anagramas \ diferentes}$

$Veja \ que \ SORTE \ \'e \ s\'o \ 1 \ dos \ 120 \ anagramas. \ Como \ o \ pr\^emio \\ m\'aximo \ vem \ quando \ ela \ acerta \ SORTE : \\ \\ \boxed{{\frac{1}{120}}}$

$\bold{b)} Fixando \ S \ e \ E \ nas \ respectivas \ posi\c{c}\~oes : \\ \\ S \ \underbrace{3 \ posi\c{c}\~oes}_{permuta\c{c}\~ao \ livre} \ E. \\ \\ \\ Ou \ seja, \ temos \ \longrightarrow \\ \\ P_{(3)} \ = \ 3! \ \rightarrow \\ \\ P_{(3!)} \ = \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1 \ = \boxed{6 \ permuta\c{c}\~oes \ poss\'iveis} \\ \\ A \ probabilidade \ \'e : \\ \\ \frac{6}{120} \ = \ \boxed{\boxed{\frac{1}{20}}}$