Question

Se vetor u = 3i - j - 2k, v = 2i + 4 j - k e w = -i + k, determinar:
(uxv).v

Answer 1

Vamos calcular o valor de U x V:

$u \times v = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&-1&-2\\2&4&-1\end{array}\right] \\ \\ \\ u \times v = 9i-j+14k$

Multiplicando o novo vetor que encontramos pelo vetor V obtemos:

$(9,-1,14) \cdot (2,4,-1) = 0$

Portanto a expressão (u x v) . v é igual a zero.

Answer 2

O valor da expressão (u×v)·v é -4.

Produto vetorial e escalar

A definição do produto vetorial pode ser dada através do determinante da matriz abaixo:

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{array}\right|$

Já o produto escalar é dado por:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

Do enunciado, temos os seguintes vetores:

u = 3i - j - 2k

v = 2i + 4j - k

w = -i + k

Reescrevendo os vetores, temos:

u = (3, -1, -2)

v = (2, 4, -1)

w = (-1, 1, 0)

Calculando primeiramente o produto vetorial:

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\3&-1&-2\\2&4&-1\end{array}\right|$

u×v = (-1)·(-1)·i + (-2)·2·j + 3·4·k - 2·(-1)·k - 4·(-2)·i - (-1)·3·j

u×v = (1 + 8)i + (-4 + 3)j + (12 + 2)k

u×v = 9i - j + 14k = (9, -1, 14)

Calculando o produto escalar por v:

u·v = (7, -1, 14) · (2, 4, -1)

u·v = 7·2 + (-1)·4 + 14·(-1)

u·v = 14 - 4 - 14

u·v = -4

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