Question

Considere que um termômetro é retirado de um local com temperatura de 70° C e colocado em um ambiente com temperatura de 10°C. Após 30 segundos, esse termômetro indica 50°C.
( Dados in 2= 0,693, in 3= 1, 098 e in 6= 1,791; usar para o tempo aproximado com duas casas decimais. )
O tempo em minutos necessário para que esse termômetro marque 20°C é, aproximadamente, de:

A) 0,81 B) 1,35 C) 2,21 D) 4,42 E) 132 66

Answer 1

Primeira grande missão é encontrar as constantes C (com as condições no tempo zero) e k (com as condições inciais).

O primeiro local, retirado é 70º ;
O novo local colocado: 10º C;
Esta é a condição antes de começar a marcar o tempo, ou seja, t = 0. Logo:

$T(t) = Tm(t) + C e^{kt}$ (1)
$70 = 10 + C e^{k0}$
$70 - 10 = C.1$
[/tex]C = 60 [/tex]

Ou seja a Eq. (1) será rescrita:

$T(t) = Tm(t) + 60 e^{kt}$ (2)

Como t =30 s (1/2 min); T(t) = 50 ºC e Tm(t) = 10º C (nova temperatura):
$50 = 10 + 60.e^{k/2}$
$50 - 10 = 60.e^{k/2}$
$60.e^{k/2} = 40$
$6.e^{k/2} = 4$
$e^{k/2} = 4/6$
$ln(e^{k/2}) = ln(4/6)$
$k/2 = ln4 - ln6$
$k = 2 ( ln4 - ln6)$
$k = 2 (0,693 - 1,098)$
$k = -0,81$

Rescrevendo Eq. (2)

$T(t) = Tm(t) + 60 e^{-0,81t}$ (3)

Finalmente, calcando o tempo para o termômetro marcar 20º C,no ambiente inicialmente a 10º C.

$20 = 10 + 60 e^{-0,81t}$ 
$10 = 60 e^{-0,81t}$
$6.e^{-0,81t} = 1$
$e^{-0,81t} = 1/6$
$ln(e^{-0,81t}) = ln(1/6)$
$-0,81t = ln 1 - ln 6$
Como ln 1 = 0, logo:
$t = -1,791/-0,81$
$t = 2,21111$ minutos

Boa sorte.

Answer 2

A equação da questão original- que é da prova da UEMA 2018-, não considera um tempo inicial , ou seja, o tempo deve ser > 0 . Sendo assim, ficaria quase que inpossivel encontrar os valores das variaveis , fato esse que fez com que a questão fosse anulada.