Question

(UFRN) Sendo $A \ = \ \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&3\end{array}\right]$ e $B \ = \ \left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]$, a matriz $X$ tal que $2 \ \cdot \ X \ - \ A \ + \ 3 \ \cdot \ B \ = \ 0$ é?

Answer 1

$Soma \ de \ matrizes : \ soma-se \ cada \ posi\c{c}\~ao \ respectivamente. \\ \\ (A_{(1,1)} \ + \ B_{(1,1)}, etc)$

$Multiplica\c{c}\~ao \ de \ n\'umero \ por \ matriz : \ todos \ os \ elementos \ \s~ao \\ multiplicados. \\ \\ (N \ \cdot \left[\begin{array}{cc}x&y\\z&w\end{array}\right] \ = \ \left[\begin{array}{cc}N \ \cdot \ x & N \ \cdot \ y\\N \ \cdot \ z & N \ \cdot \ w\end{array}\right])$

$O \ mesmo \ vale \ para \ a \ divis\~ao.$

$2 \ \cdot \ X \ - \ A \ + \ 3 \ \cdot \ B \ = \ 0 \rightarrow \\ \\ 2 \ \cdot \ X \ = \ A \ - \ 3 \ \cdot \ B \ \rightarrow \\ \\ 2 \ \cdot \ X \ = \ A \ + \ (-3) \ \cdot \ B \ \rightarrow \\ \\ 2 \ \cdot \ X \ = \ \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&3\end{array}\right] \ + \ \left[\begin{array}{cc}-3 \ \cdot \ -1&-3 \ \cdot \ 0\\-3 \ \cdot \ 0&-3 \ \cdot \ 1\end{array}\right] \ \rightarrow$

$2 \ \cdot \ X \ = \ \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&3\end{array}\right] \ + \ \left[\begin{array}{cc}3&0\\0&-3\end{array}\right] \ \rightarrow \\ \\ 2 \ \cdot \ X \ = \ \left[\begin{array}{cc}4&2\\1&0\end{array}\right] \ \rightarrow \\ \\ X \ = \ \left[\begin{array}{cc}\frac{4}{2}&\frac{2}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{0}{2}\end{array}\right] \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{X \ = \ \left[\begin{array}{cc}2&1\\ \frac{1}{2}&0\end{array}\right]}}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Iracema, que a resolução é simples. Só é um pouquinho trabalhosa.
Pede-se a matriz, tal que:

2X - A + 3B = 0 , sabendo-se que as matrizes A e B são estas:

A = |1....2|
......|1.....3|
e
B = |-1....0|
......|0......1|

Agora vamos tentar fazer tudo passo para um melhor entendimento.

i) Como vamos precisar saber qual é a matriz 3B, então vamos multiplicar a matriz B pelo escalar 3, ficando:

3B = 3*|-1....0|
............|0.....1| ---- efetuando o produto, teremos:

3B = |3*(-1)....3*0|
........|3*0........3*1|

3B = |-3.....0|
.........|0......3| <--- Esta é a matriz 3B.

ii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é o valor da matriz X, tal que:

2X - A + 3B= 0 ---- Note que poderemos reescrever assim, o que é a mesma coisa:

2X + 3B - A = 0 ------ substituindo-se a matriz  A e a matriz 3B por suas representações, teremos:

2x + |-3.....0| - |1....2|
........|0.....3| - |1....3| = 0 ---- efetuando a subtração indicada, teremos;

2X + |-3-1.....0-2|
........|0-1.......3-3| = 0 ---- desenvolvendo, teremos:

2X + |-4.......-2|
.......|-1........0| = 0 ------ vamos passar a matriz para o 2º membro, com o que ficaremos assim:

2X = -  |-4......-2|
............|-1.......0| ---- note que o sinal de menos antes da matriz, significa que ela estaria sendo multiplicada por "-1". Então fazendo isso, ficaríamos com (note que, para isso, basta multiplicar cada elemento da matriz por "-1"):

2X = |4.....2|
.........|1......0| ---- agora vamos isolar "X", com o que ficaremos assim:

X = |4/2......2/2|
......|1/2......0/2| ----- desenvolvendo, teremos:

X = |2......1|
......|1/2....0| <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a matriz X pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.