Question

(Fuvest/SP) A hipotenusa de um triângulo retângulo medo 20 cm e um de seus ângulos mede 20º.

A) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
B) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?

Answer 1

$Observe \ o \ anexo \ \Rightarrow$

$Como \ o \ \Delta ABC \ (decidi \ denominar \ assim \ para \ melhor \ explica\c{c}\~ao) \\ \'e \ ret\^angulo \ em \ A\widehat{B}C, B\widehat{A}C \ = \ 70^\circ \ e \ A\widehat{C}B \ = \ 20^\circ.$

$\boxed{sen(70^\circ) \ = \ cos(20^\circ) \ e \ cos(70^\circ) \ = \ sen(20^\circ)}$

$No \ desenho, \ o \ segmento \ vermelho \ \'e \ a \ mediana \ da \ hipotenusa. \\ \\ Ele \ corta \ a \ hipotenusa \ no \ ponto \ M \ (m\'edio) \ em \ segmentos \\ AM \ = \ MC \ = \ 10 \ cm.$

$Os \ \^angulos \ A\widehat{M}B \ e \ B\widehat{M}C \ completam \ um \ raso. \\ \\ A\widehat{M}B \ + \ B\widehat{M}C \ = \ 180^\circ \ \Rightarrow \ S\~ao \ suplementares! \\ \\ Observe \ \longrightarrow \\ \\ sen(180^\circ \ - \ B\widehat{M}C) \ = \ sen(A\widehat{M}B) \ \rightarrow \\ \\ sen(180^\circ) \ \cdot \ cos(B\widehat{M}C) \ - \ cos(180^\circ) \ \cdot \ sen(B\widehat{M}C) \ = \ sen(A\widehat{M}B) \\ \\ 0 \ \cdot \ - \ (-sen(B\widehat{M}C)) \ = \ sen(A\widehat{M}B)\ \rightarrow$

$\boxed{sen(B\widehat{M}C) \ = \ sen(A\widehat{M}B)}$

$Em \ contrapartida, \\ \boxed{cos(B\widehat{M}C) \ = - \ cos(A\widehat{M}B)}$

$Lei \ do \ Cosseno \ para \ \Delta ABM \ \Rightarrow \\ \\ AB^2 \ = \ AM^2 \ + \ BM^2 \ - \ 2 \ \cdot \ AM \ \cdot \ BM \ \cdot \ cos(A\widehat{M}B) \ \rightarrow \\ \\ (20 \ \cdot \ cos(70^\circ))^2 \ = \ 10^2 \ + \ BM^2 \ - \ 2 \ \cdot \ 10 \ \cdot \ BM \ \cdot \ cos(A\widehat{M}B) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{400 \ \cdot \ cos^2(70^\circ) \ = \ 100 \ + \ BM^2 \ - \ 20 \ \cdot \ BM \ \cdot \ cos(A\widehat{M}B)} \ (I)$

$Lei \ do \ Cosseno \ para \ \Delta BMC \ \Rightarrow \\ \\ BC^2 \ = \ MC^2 \ + \ BM^2 \ - \ 2 \ \cdot \ MC \ \cdot \ BM \ \cdot \ cos(B\widehat{M}C) \ \rightarrow \\ \\ (20 \ \cdot \ sen(70^\circ))^2 \ = \ 10^2 \ + \ BM^2 \ - \ 2 \ \cdot \ 10 \ \cdot \ BM \ \cdot \ -cos(A\widehat{M}B) \rightarrow \\ \\ \boxed{400 \ \cdot \ sen^2(70^\circ) \ = \ 100 \ + \ BM^2 \ + \ 20 \ \cdot \ BM \ \cdot \ cos(A\widehat{M}B)} \ (II)$

$Some \ (I) \ +\ (II) \ e \ chegue \ em : \\ \\ 400 \ \cdot \ cos^2(70^\circ) \ + \ 400 \ \cdot \ sen^2(70^\circ) \ = \\ 100 \ + \ BM^2 \ - \ 20 \ \cdot \ BM \ \cdot \ cos(A\widehat{M}B)} \ + \ \\ 100 \ + \ BM^2 \ + \ 20 \ \cdot \ BM \ \cdot \ cos(A\widehat{M}B)} \ \rightarrow \\ \\ 400 \ \cdot \ (cos^2(70^\circ) \ + \ sen^2(70^\circ)) \ = \ 200 \ + \ 2 \ \cdot \ BM^2 \ \rightarrow \\ \\ 400 \ = \ 200 \ + \ 2 \ \cdot \ BM^2 \ \rightarrow \\ \\ 200 \ = \ 2 \ \cdot \ BM^2 \ \rightarrow$

$BM \ = \ \sqrt{\frac{200}{2}} \ \rightarrow \\ \\ BM \ = \ \sqrt{100} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{BM \ = \ 10 \ cm}} \ \Rightarrow \ Mediana \ relativa \ \`a \ hipotenusa! \ (BM \ \ \textgreater \ \ 0)$

$Ok. \ Agora, \ veja \ que \ a \ bissetriz \ \'e \ o \ segmento \ verde. \\ \\ A\widehat{B}N \ = \ N\widehat{B}C \ = \ \ 45^\circ$

$Lei \ do \ Seno \ em \ BMC \ \rightarrow \\ \\ \frac{BM}{sen(20^\circ)} \ = \ \frac{MC}{sen(M\widehat{B}C)} \ \rightarrow \\ \\ \frac{10}{sen(20^\circ)} \ = \ \frac{10}{sen(M\widehat{B}C)} \ \rightarrow \\ \\ sen(20^\circ) \ = \ sen(M\widehat{B}C), \ e \ como \ ambos \ s\~ao \ agudos, \\ \\ \boxed{M\widehat{B}C \ = \ 20^\circ}$

$N\widehat{B}C \ = \ M\widehat{B}N \ + \ M\widehat{B}C \ \rightarrow \\ \\ 45^\circ \ = \ M\widehat{B}N \ + \ 20^\circ \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{M\widehat{B}N \ = \ 25^\circ}} \ \Rightarrow \ \^Angulo \ entre \ bissetriz \ e \ mediana!$