Question

Para abrir uma valeta de 300 m de comprimento por 2 m de profundidade e 80 cm de largura, 25 operários do Serviço de Águas e Esgotos levaram 10 dias.Se o número de operários é aumentado em 20 %, a profundidade da valeta aumentada em 50% e a largura diminuída em 25%, quantos dias são necessários para abrir 160 m de valeta?  

Answer 1

Olá Brenda!

Para aplicar a regra de três composta, vamos primeiro identificar cada uma das grandezas envolvidas:

A - Comprimento da valeta (em metros)
B - Profundidade da valeta (em centímetros)
C - Largura da valeta (em centímetros)
D - Quantidade de operários trabalhando
E - Tempo necessário de serviço (em dias)

Essa questão diferencia das outras porque não nos da diretamente alguns dos novos valores, mas sim o representam através de porcentagem. Desse modo, vamos desmistificar as porcentagens e descobrir os valores procurados.

Primeiro o problema nos diz que o número de operários será aumentado em 20%. Ou seja queremos saber quanto é 20% de 25 operários:
$\frac{20*25}{100}= 5$

Portanto, para essa nova tarefa existirá mais 5 operários, resultando num total de 30.

A profundidade da valeta será aumentada em 50%. Como inicialmente ela tinha 2cm de profundidade, sabemos que 50% (ou metade) disso é 1cm. Logo, a nova profundidade será de 3cm.

Por fim, a largura será diminuída em 25% de um inicial de 80cm. Vejamos quanto é 25% de 80:
$\frac{25*80}{100}= 20$

Logo, a largura será diminuída em 20cm, tendo como novo valor 60cm.

O comprimento da valeta nos foi dado (160m) e queremos descobrir quantos dias serão necessários para essa tarefa.

Com isso, podemos esquematizar o seguinte:
$A\:\:\:\:\:\:\:B\:\:\:\:C\:\:\:\:\:D\:\:\:\:\:E \\ \frac{300}{160}\:\:\:\:\frac{2}{3}\:\:\:\:\frac{80}{60}\:\:\:\:\frac{25}{30}\:\:\:\:\frac{10}{x}$

Como a nossa incógnita está na grandeza E, devemos comparar cada uma das outras grandezas com E (tempo necessário) para descobrir se são diretamente ou inversamente proporcionais:

A: Quanto maior o comprimento da valeta, mais trabalho existirá e maior será o tempo necessário. Então, A e E são diretamente proporcionais.

B: Quanto mais fundo for a valeta, também existirá mais trabalho a ser feito e maior será o tempo gasto. Então, B e E são diretamente proporcionais.

C: Do mesmo modo, quanto maior a largura da valeta, maior será o tempo necessário de trabalho. Portanto, C e E são diretamente proporcionais.

D: Quanto mais operadores tiverem em trabalho, menor será o tempo gasto na tarefa. Então, D e E são inversamente proporcionais.

Lembrando que uma grandeza inversamente proporcional é invertida na relação, temos que:
$A\:\:\:\:\:\:\:B\:\:\:\:C\:\:\:\:\:D\:\:\:\:\:E \\ \frac{300}{160}\:\:\:\:\frac{2}{3}\:\:\:\:\frac{80}{60}\:\:\:\:\frac{30}{25}\:\:\:\:\frac{10}{x}$

Agora podemos desenvolver a expressão:
$\frac{300}{160}*\frac{2}{3}*\frac{80}{60}*\frac{30}{25}=\frac{10}{x} \\ \\ \frac{300*2*80*30}{160*3*60*25}= \frac{10}{x} \\ \\ \frac{1440000}{720000}= \frac{10}{x} \\ \\ 1440000x=7200000 \\ \\ \boxed{x = 5}$

Concluímos então que o tempo gasto para essa tarefa seria de 5 dias.

Bons estudos!

Answer 2

VALETA 1:
- comprimento (C1) => 300 m
- profundidade (P1) => 2 m
- largura (L1) => 80 cm = 0,8 m
- operários (Op1) => 25
- dias => 10
- volume (V1) = 300.2.(0,8) = 480 m³
....................
VALETA 2:
- comprimento (C2) => 160 m
- profundidade (P2) => P1 + 50%P1 = 2 + (0,5.2) = 2 + 1 = 3 m
- largura (L2) => L1 - 25%L1 = 80 - (0,25.80) = 80 - 20 = 60 cm = 0,6 cm
- operários (Op2) => Op1 + 20%Op1 = 25 + (0,25.25) = 25 + 6,25 = 31,25 ≈ 31
- dias => x
- volume (V2) = 3.(0,6).160 = 288 m³
....................
REGRA DE TRÊS COMPOSTA:
             Operários -------- Volume -------- Dias
(1)              25       --------   480     -------- 10
(2)              31       --------   288     --------  x

10/x = 31/25 . 480/288
10/x = (31.480) / (25.288)
10/x = 14880 / 7200
10/x = 2,06
x = 10/2,07
x = 4,83 ≈ 5
Para se construir a segunda valeta será necessários 5 dias (aproximadamente).