Question

Qual a diferença entre combinação com repetição para arranjos sem repetição ?

Se possível deixe um exemplo para melhor fixação .

Answer 1

$Bom \ dia, \ amigo \ \bold{Optimistic!}$

$Sei \ que \ a \ melhor \ pessoa \ que \ pode \ te \ responder \ isso \\ \'e \ o \ mestre \ \bold{Manuel272}, \ mas \ eu \ vou \ me \ arriscar \ \dots$

$Come\c{c}amos \ com \ um \ exemplo \ da \ n\~ao \ t\~ao \ usual \\ \bold{combina\c{c}\~ao \ com \ repeti\c{c}\~ao} \\ (pelo \ menos \ no \ EM\ / \ vestibular \ n\~ao \ \'e \ \bold{t\~ao} \ usual \ assim).$

$\bold{Combine} \ A, \ B, \ C, \ D,\ E \ e \ F \ em \ tr\^es \ vagas \ com \ repeti\c{c}\~ao. \\ \\ Existe \ a \ formulinha \ da \ combina\c{c}\~ao \ com \ repeti\c{c}~ao, \ mas \\ eu ainda \ n\~ao \ a \ decorei.... \ (s\'o \ a \ do \ arranjo \ com \ repeti\c{c}~ao, \\ que \'e \ bem \ f\'acil, A_r_{(n,p)} \ = n^p).$

$Eu \ faria : \\ \\ \underbrace{C_{(6,3)}}_{Combina\c{c}\~ao \ tradicional} \ + \ \underbrace{C_{(6,1)}}_{Escolher \ uma \ letra \ e \ repeti-la \ tr\^es \ vezes} \ + \ \\ \\ \underbrace{C_{(6,1)} \ \cdot \ C_{(5,1)}}_{Escolher \ uma \ letra \ distinta \ mais \ duas \ letras \ para \ serem \ repetidas} \ \Rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\boxed{56 \ combina\c{c}\~oes}}$

$(Por\'em \ o \ meu \ m\'etodo \ n\~ao \ \'e \ recomendado , \ uma \ vez \ que \ se \\ aumente \ o \ n\'umero \ de \ objetos \ e \ de \ escolhas).$

$Veja \ que \ em \ momento \ algum \ eu \ considerei \ permutar \ as \ letras. \\ \bold{Pois, \ sendo \ combina\c{c}\~ao, \ a \ ordem \ continua \ n\~ao \ importando.}$

$Ou \ seja, \ isso \ daqui : \\ \\ (A \ - A \ - \ B) \ = \ (B \ - \ A \ - \ A) \ = \ (A \ - \ B \ - \ A), etc. \\ \\ Eu \ posso \ repetir \ elementos, \ mas \ a \ ordem \ continua \ n\~ao \ importando.$

$Listando \ um \ pouco \ para \ figurar \ melhor \\ (conta-se \ unicamente \ esses \ elementos) : \\ \\ \rightarrow \ (A \ - \ A \ - \ A); \\ \rightarrow \ (A \ - \ A \ - \ B); \\ \rightarrow \ (A \ - \ A \ - \ C); \\ \rightarrow \ (A \ - \ A \ - \ D); \\ \rightarrow \ (A \ - \ A \ - \ E); \\ \rightarrow \ (A \ - \ A \ - \ F); \\ \rightarrow \ (A \ - \ B \ - \ C); \\ \rightarrow \ (A \ - \ B \ - \ D); \\ \bold{\rightarrow \ etc \ \dots}$

$Observe \ que \ a \ combina\c{c}\~ao \ com \ repeti\c{c}~ao \ \ n\~ao permuta \\ elementos, \ nem \ mesmo \ permuta\c{c}\~ao \ com \ repeti\c{c}~ao. \\ \\ A \ listinha \ que \ eu \ coloquei \ s\~ao \ de \ elementos \ que \ s\'o \ contam\\ uma \ vez.$

$Arranjo \ sem \ repeti\c{c}\~ao \ \'e \ o \ cl\'assico. \\ \\ \bold{Arranje} \ A,B,C,D,E \ e \ F \ em \ 3 \ vagas. \\ \\ \'E \ simplesmente \ A_{(6,3)} \ = \ 120 \ configura\c{c}\~oes \ \\ \bold{com \ elementos \ n\~ao \ repetidos} : \\ \\ \rightarrow \ (A-B-C); \\ \\ \rightarrow \ (F-C-B); \\ \\ \rightarrow \ (F-B-C); \\ \\ \rightarrow \ (A-B-C); \\ \\ \rightarrow \ (A-B-F); \\ \\ \rightarrow \ (F-A-B); \\ \\ \bold{\rightarrow \ etc \ \dots}$

$Veja \ que \ nem \ se \ assemelha \ \`as \ combina\c{c}\~oes \ com \ repeti\c{c}\~oes. \\ \\ Aqui, \ admite-se \ permuta\c{c}\~oes \ internas \\ \bold{mas \ com \ elementos \ n\~ao \ repetidos}.$

$N\~ao \ sei \ se \ deu \ para \ explicar \ bem... \\ \\ \longrightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ com \ repeti\c{c}\~ao \ : \ Repete-se \ e \ n\~ao \ se \ permuta; \\ \\ \longrightarrow \ Arranjo \ sem \ repeti\c{c}\~ao \ : \ N\~ao \ se \ repete \ e \ permuta-se.$