Question

Resolva a equação logarítmica: ㏒ ₍ₓ₋₁₎ 16=2?

Answer 1

Olá, meu caro.

Tenha em mente que numa equação logarítmica, se tivermos um logaritmo com mesma base em ambos os membros de uma igualdade, podemos igualar os logaritmandos. Precisaremos tembém das seguintes propriedades:

$\star~\mathsf{\log _a a = 1}\\ \star \mathsf{\log_a b^n = n\cdot\log_a b}$

Simples até aqui, não?

Agora note que no primeiro membro da equação temos um logaritmo na base (x-1). Assim, precisamos da mesma base num logaritmo no segundo membro para tentar tirar os logs da questão:


$\mathsf{2 = 2log_{x-1}(x-1)}\\ \\ \mathsf{2 = log_{x-1}(x-1)^2=log_{x-1}(x^2 - 2x + 1)}$

Assim, vamos pensar na equação:

$\mathsf{log_{x-1}16 = 2}$

Lembremos que precisaremos de x - 1 > 0, ou seja, x > 1 para que o logaritmo faça sentido.

Vamos substituir 2 e manipular:

$\mathsf{log_{x-1}16 = log_{x-1} (x^2 - 2x + 1)}\\ \\ \mathsf{16 = x^2 -2x + 1}\\ \\ \mathsf{x^2 - 2x - 15 = 0}\\ \\ \mathsf{\Delta = 64}\\ \\ \mathsf{x_1 = 5}\\ \mathsf{x_2 = -3}$

-3 não satisfaz nossa condição de ser maior que 1. Assim:

$\mathsf{S = \{5\}}$