Question

20. Um atleta corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67 500 metros, o número de metros percorridos no 3° dia foi

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Danivilela, que a resolução é simples.
Apenas a questão envolve conhecimento das propriedades de uma PA (Progressão Aritmética).

Então vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que o último termo de uma PA é dado pela seguinte fórmula:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima "an" é o último termo. Por sua vez "a₁" é o primeiro termo e a razão "r" é igual a 500, pois o corredor corre sempre mais 500 metros que o corrido no dia anterior. E, finalmente, substituiremos "n" por "15", pois o corredor correu durante 15 dias. Assim, substituindo-se "r" por 500, teremos;

an = a₁ + (15-1)*500
an = a₁ + (14)*500---- efetuando o produto indicado, teremos:
an = a₁ + 7.000 <--- Esta é a representação do último termo da nossa PA.

ii) Agora vamos para a soma dos termos de uma PA, cuja fórmula é esta:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Na fórmula acima, "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos da nossa PA, que já vimos, conforme o enunciado da questão, que é igual a 67.500 metros. Então substituiremos "Sn" por "67.500". Por sua vez substituiremos "an" pelo seu  valor antes encontrado e que está representado por "a₁+7.000". E finalmente substituiremos "n" pro "15" que é o número de termos da PA. Assim, substituindo-se "an" por "a₁+7.000", ficaremos com:

67.500 = (a₁ + a₁+7.000)*15/2 ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, teremos:

67.500 = (2a₁+7.000)*15/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*67.500 = (2a₁+7.000)*15 --- efetuando-se os produtos indicados nos 2 membros, teremos isto:

135.000 = 30a₁ + 105.000 ---- passando "105.000" para o 1º membro, temos:
135.000 - 105.000 = 30a₁
30.000 = 30a₁ ---- vamos apenas inverter, ficando:>
30a₁ = 30.000 --- isolando "a₁", teremos:
a₁ = 30.000/30
a₁ = 1.000 metros <--- Este é o primeiro termo da nossa PA.

iii) Agora vamos encontrar a quantidade de metros que o corredor correu no 3º dia. Veja que o terceiro termo será dado pela fórmula do termo geral, que já vimos que é:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a₃", pois estamos querendo saber qual é o valor do terceiro termo; por sua vez, substituiremosn"a₁" por 1.000, que é o valor do primeiro termo; por seu turno, substituiremos "n" por "3", pois estamos encontrando o terceiro termo; e, finalmente, substituiremos "r" por 500, que é a razão da nossa PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos;

a₃ = 1.000 + (3-1)*500
a₃ = 1.000 + (2)*500 --- ou apenas:
a₃ = 1.000 + 2*500
a₃ = 1.000 + 1.000
a₃ = 2.000 metros <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a quantidade de metros corridos pelo atleta no 3º dia.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver qual será essa PA com todos os seus 15 termos, com a utilização do 1º termo (1.000 metros) e, a partir daí, utilizando-se a razão (500) para encontrar os demais termos:

a₁ = 1.000 -----> = 1.000
a₂ = 1.000+500 = 1.500
a₃ = 1.500+500 = 2.000 <--- Olha aí como o a₃ é, realmente, 2.000.
a₄ = 2.000+500 = 2.500
a₅ = 2.500+500 = 3.000
a₆ = 3.000+500 = 3.500
a₇ = 3.500+500 = 4.000
a₈ = 4.000+500 = 4.500
a₉ = 4.500+500 = 5.000
a₁₀ = 5.000+500 = 5.500
a₁₁ = 5.500+500 = 6.000
a₁₂ = 6.000+500 = 6.500
a₁₃ = 6.500+500 = 7.000
a₁₄ = 7.000+500 = 7.500
a₁₅ = 7.500+500 = 8.000
TOTAL --------> = 67.500 <--- Olha aí como a soma é, realmente, 67.500.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.