Question

Determinar a área da região R delimitada por f(x)=9 e g(x)=x~2, com x<=0, sabendo que as funções f e g são integraveis.

Answer 1

Bom, o problema pede a área entre y = x² e y = 9 na região com valores de x ≤ 0. Primeiramente devemos encontrar a interseção das duas funções dado pelo sistema:

$\displaystyle \left \{ {{y=x^{2}} \atop {y=9}} \right.$

Multiplicando o segundo termo por -1, temos:

$\displaystyle \left \{ {{y=x^{2}} \atop {-y=-9}} \right. \\ \\ \\ x^{2}-9=0 \\ \\ x^{2}=9 \\ \\ x=\sqrt{9} \\ \\ x=3$

A interseção ocorre em x = 3 e x = -3. Mas apenas x = -3 atende à premissa de valores na região de x ≤ 0. Por conseguinte, usaremos I = [-3,0] para o cálculo da área entre as curvas. Vamos considerar a expressão:

$\displaystyle \int^{0}_{-3} 9 \, dx - \int^{0}_{-3} x^{2} \, dx \\ \\ \\ 9x\left|\begin{array}{ccc}0\\\\-3\end{array}\right - \frac{1}{3}x^{3} \left|\begin{array}{ccc}0\\\\-3\end{array}\right \\ \\ \\ (9b-9a)-(\frac{1}{3}b^{3}-\frac{1}{3}a^{3}) \\ \\ \\ (9\cdot0-9\cdot(-3))-(\frac{1}{3}0^{3}-\frac{1}{3}(-3)^{3}) \\ \\ \\ \boxed{\boxed{A=18 \, u.a}}$