Question

Deseja-se construir um recipiente cilíndrico sem tampa de volume igual a 27 metros cúbicos. Qual o raio do recipiente para que o material usado seja mínimo?

Answer 1

Area lateral de cilindro
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S = pi x r^2 + 2 x pi x r x h.....( 1 )

Volume
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V = pi x r^2 x h

despejar para h :

h =.......V
.......______........( 2 )
........pi x r^2


Vamos substituir em ( 1 ) a ( 2 )

S = pi x r^2 + 2 x pi x r x h

S = pi x r^2 + 2 x pi x r x.......v
..............................................______
...............................................pi x r^2

Vamos derivar como f ( r )

f ( r ) = pi x r^2 + 2 x pi x r x v / pi x r^2

vamos simplificar o pi

f ( r ) = pi x r^2 + 2 x V x r^-1

f' ( r ) = 2 x pi x r - 2 x V x r^-2

2 x pi x r = 2V
....................____
.......................r^2

vamos despejar ( r )

r^3 = V
.........___
...........pi

r^3 = 27
..........___
............pi

r = \3/ 27
......._____
.......\3/ pi

r. = 3
.......____
.......\3/ pi