Question

Dados os vetores u= (1,1,0) e v=(-1,1,2) determinar :
a) um vetot unitario simultaneamente ortogonal a U e V.
b) um vetor de modulo 5simultaneamente ortogonal a U e V.

Answer 1

a)

Vamos chamar esse vetor de x = (a,b,c) e se são ortogonais, então x · u e x · v deve ser igual a zero.

x · u = (a,b,c) · (1,1,0) = a + b

x · v = (a,b,c) · (-1,1,2) = - a + b + 2c

Se o vetor deve ser unitário, ou seja, de módulo igual a 1, então:

$\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = 1 \\ \\ a^{2}+b^{2}+c^{2} = 1^{2} \\ \\ a^{2}+b^{2}+c^{2} = 1$

Perceba que, se a + b = 0, então:

a = - b

E com isso, na segunda equação:

- a + b + 2c = 0

- ( - b) + b + 2c = 0

b + b + 2c = 0

2b + 2c = 0

2c = - 2b

c = - b

Se temos a² + b² + c² = 1, ficamos com:

a² + b² + c² = 1

( - b)² + b² + ( - b)² = 1

b² + b² + b² = 1

3b² = 1

b² = 1/3

b = 1/√3

Então o restante dos valores ficará:

a = - b 

a = - 1/√3

c = - b

c = - 1/√3

Então o nosso vetor procurado é x = ( - 1/√3 , 1/√3 , - 1/√3 )

b)

Já temos um vetor ortogonal a u e v, só temos que fazê-lo ter módulo igual a 5, e para isso, é só multiplicá-lo por 5:

5 · ( - 1/√3 , 1/√3 , - 1/√3 ) = ( - 5/√3 , 5/√3 , - 5/√3)

Então o vetor procurado é a = ( - 5/√3 , 5/√3 , - 5/√3)

Até mais!