Question

Qual é a área entre as curvas das funções f(x) raiz quadrada de 4x e g(X) = x? (a) 24 (b) 8/3 (c) 4/3 (d) 104/3

Answer 1

Primeiramente teremos que encontrar a interseção das duas funções, dada a partir do sistema:

$\displaystyle \left \{ {{y=2\sqrt{x}} \atop {y=x}} \right.$

Multiplicando o segundo membro por -1, temos:

$\displaystyle \left \{ {{y=2\sqrt{x}} \atop {-y=-x}} \right. \\ \\ \\ 2\sqrt{x}-x=0 \\ \\ \\ x \cdot (2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{x} - 1) =0 \\ \\ \\ x \cdot (2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} - 1) =0 \\ \\ \\ ==== \\ \\ \\ x=0 \\ \\ \\ ==== \\ \\ \\ 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \\ \\ \\ 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=1 \\ \\ \\ \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2} \\ \\ \\ 2=\sqrt{x} \\ \\ \\ 2^{2}=x \\ \\ 4=x$

A interseção ocorre em x = 0 e x = 4, e é justamente esse o intervalo em que precisamos usar para o cálculo da área.

Vamos considerar a seguinte expressão:

$\displaystyle \int^4_0 2\sqrt{x} \, dx - \int^4_0 x \, dx \\ \\ \\ 2 \cdot \int^4_0 \sqrt{x} \, dx - \int^4_0 x \, dx \\ \\ \\ \frac{4}{3}\sqrt{x^{3}} \left|\begin{array}{ccc}4\\\\0\end{array}\right - \frac{1}{2}x^{2} \left|\begin{array}{ccc}4\\\\0\end{array}\right \\ \\ \\ (\frac{4}{3}\sqrt{b^{3}}- \frac{4}{3}\sqrt{a^{3}}) - (\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}) \\ \\ \\ (\frac{4}{3}\sqrt{4^{3}}- \frac{4}{3}\sqrt{0^{3}}) - (\frac{1}{2}4^{2}-\frac{1}{2}0^{2}) \\ \\ \\ \boxed{\boxed{A= \frac{8}{3} \, u.a}}$