Matéria: Matemática
Autor: kemilykerry4769
Perguntado 8 anos atrás

Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares con - gruentes, justapostos, de modo que cada par de hexá gonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo.

A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.

a) 1.600 m2
b) 1.800 m2
c) 2.000 m2
d) 2.200 m2
e) 2.400 m2

Anexos:

Respostas

respondido por: Anônimo

$Veja \ o \ anexo \ bem \ rascunhado \ ksks \ \dots \\ \\ Num \ hex\'agono \ regular, \ ligue \ os \ v\'ertices \ opostos \ forme \ 6 \ \triangle \\ equil\'ateros \ com \ o \ mesmo \ lado \ do \ hex\'agono \ (segmentos \ vermelhos). \\ \\ Isso \ pois \ o \ \^angulo \ central \ de \ 360^\circ \ \'e \ cortado \ em \ 6, \ ou \ seja, \\ \\ \frac{360^\circ}{6} \ = \ \boxed{60^\circ} \\ \\ \\ Como \ os \ segmentos \ do \ centro \ ao \ v\'ertice \ s\~ao \ = \ e \ entre \ eles \ h\'a \ 60^\circ, \\$
$por \ uma \ lei \ do \ cosseno \ b\'asica, \ esses \ segmentos \ s\~ao \ iguais \ aos \ lados \\ do \ \bold{hex\'agono \regular}. \\ \\ Ou \ seja, \ conseguimos \ montar \ 6 \ \triangle \ equil\'ateros.$

$Usemos \ as \ dis\t^ancias \ entre \ lados \ paralelos \ como \ sendo \ segmentos \\ ortogonais \ aos \ lados.$

$As \ dist\^ancias \ podem \ ser \ calculados \ facilmente \ olhando \ o \ desenho. \\ \\ Elas \ s\~ao \ os \ segmentos \ azuis.$

$Veja \ que \ s\~ao \ 2 \ segmentos \ que \ passam \ pelo \ seu \ centro. \\ Estando \ fincados \ nos \ pontos \ m\'edios \ dos respectivos \ lados, \\ podemos \ dizer que \ s\~ao \ 2 \ \bold{ap\'otemas} \ hexagonais.$

$\underbrace{d_{(L\parallel L)}}_{Dist\^ancia \ entre \ lados \ paralelos} \ = \ \underbrace{2 \ \cdot \ ap_{(hex)}}_{Equivalente \ a \ 2 \ ap\'otemas}$

$Agora, \ observe \ que \ o \ ap\'otema \ vai do \ centro \ ao \ ponto \ m\'edio \\ de \ um \ dos \ lados, \ sendo \ \perp \ a \ ele. \\ \\ \bold{O \ ap\'otema \ \'e \ a \ altura \ do \ \triangle \ equil\'atero \ de \ l \ = \ l_{(hex)}}$

$\boxed{ap_{(hex)} \ = \ \frac{l_{(hex)} \ \cdot \ \sqrt{3}}{2}}$

$d_{(L\parallel L)} \ = \ \not{2} \ \cdot \ \frac{l_{(hex)} \ \cdot \ \sqrt{3}}{\not{2}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{d_{(L\parallel L)} \ = \ l_{(hex)} \ \cdot \ \sqrt{3}}$

$\Rightarrow \ Do \ enunciado, \ d_{(L\parallel L) \ = \ 25 \ m \ \longrightarrow \\ \\$

$25 \ = \ l_{(hex)} \ \cdot \ \sqrt{3} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{l_{(hex)} \ = \ \frac{25}{\sqrt{3}} \ m} \ \Rightarrow \ Lado \ de \ cada \ hex\'agono!$

$(lembrando \ que \ os \ 3 \ s\~ao \ congruentes, \ ou \ seja, \ iguais)$

$A \ \'area \ da \ piscina \ \'e \ \longrightarrow \\ \\ A_{(piscina)} \ = \ \underbrace{3}_{n\'umero \ de \ hex\'agonos} \ \cdot \ \underbrace{6 \ \cdot \ A_{(\triangle eq)}}_{\triangle \ equil\'ateros \ por \ hex\'agono} \ \rightarrow \\ \\ \\ A_{(piscina)} \ = \ 18 \ \cdot \ \underbrace{\frac{l^2_{(hex) \ \cdot \ \sqrt{3}}}{4}}_{\'Area \ de \ um \ \triangle \ equil\'atero \ de \ lado \ = \ l_{(hex)}} \ \rightarrow \\ \\ \\$

$A_{(piscina)} \ = \ \frac{9 \ \cdot \ \Big(\frac{25}{\sqrt{3}}\Big)^2 \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \\ \\ \\ A_{(piscina)} \ = \ \frac{9}{2} \ \cdot \ \frac{625 \ \cdot \ \sqrt{3}}{3} \ \rightarrow \\ \\ A_{(piscina)} \ = \ \frac{3 \ \cdot \ 625 \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \\ \\ A_{(piscina)} \ = \ \frac{1875 \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \\ \\$

$Veja \ que \ 17 \ \cdot \ 17 \ = \ 289... \ logo, \ uma \ boa \ aproxima\c{c}\~ao \\ para \ \sqrt{3} \ \'e \ \boxed{\boxed{\sqrt{3} \ \approx \ 1,72}}, \ pois \ assim \ cortamos \\ o \ 2 \ do \ denominador.$

$A_{(piscina)} \ \approx \ \frac{1875 \ \cdot \ 1,72}{2} \ \rightarrow \\ \\ A_{(piscina)} \ \approx \ 1875 \ \cdot \ 0,86 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{A_{(piscina)} \ = \ 1612,5 \ m^2}} \rightarrow \'Area \ aproximada \ da \ piscina \ da \ \bold{USP}! \\ \\ \\ \bold{(Logo, \ alternativa \ 'a'.)}$

Anexos: