Question

O número de diagonais de um polígono convexo de n lados (n > 3) é dado por D(n) = n.(n-3)/2. É correto, portanto, inferir que para todo natural n > 4, vale a seguinte opção:
a) D(n+1) = D(n) + 2
b) D(n+1) = D(n) + n
c) D(n+1) = D(n) + n – 1
d) D(n+1) = D(n) + 2n
e) D(n+1) = D(n) – n

a resposta é assim, mas nao entendi NADA, me expliquem direitinho por favor:
D(n)=n(n-3)/2
D(n+1) =(n+1)(n-2)/2

D(n+1)-D(n)= 1/2(n²-n-2) -1/2(n²-3n)
D(n+1)-D(n)= 1/2(n²-n-2-n²+3n) = 1/2(2n-2)= n-1

D(n+1) =D(n)+n-1

Answer 1

Temos:

$D(n) = \dfrac{n(n-3)}{2}$

Mas agora procuramos uma regra para a partir de 4 lados, 1 a mais que a base (n), ou seja : (n + 1), então substituímos esse valor no lugar de "n":

$D(n) = \dfrac{n(n-3)}{2}\\ \\ \\ D(n+1) = \dfrac{(n+1).[(n+1)-3]}{2} \\ \\ \\ = \dfrac{(n+1).(n-2)}{2} \\ \\ \\ = \dfrac{n^2 - 2n+n-2}{2} \\ \\ \\ \boxed{D(n+1)=\dfrac{n^2-n-2}{2}}$

Agora já temos o valor de D(n+1), mas eles querem uma relação com D(n), pelas alternativas fornecidas, então, temos que o necessário é substituir D(n) de D(n+1) para deixar D(n) positivo do outro lado:

$D(n+1)=\dfrac{n^2-n-2}{2} \\ \\ \\ D(n+1)-D(n)=\dfrac{n^2-n-2}{2}-\dfrac{n(n-3)}{2} \\ \\ \\ = \dfrac{(n^2-n-2) - n(n-3)}{2} \\ \\ \\ = \dfrac{\not n^2-n-2-\not n^2+3n}{2} \\ \\ \\ = \dfrac{2n-2}{2} = \dfrac{\not2(n-1)}{\not2} = n-1$

Então:

$D(n+1)-D(n) = n-1 \\ \\ \\ \boxed{D(n+1) = D(n) + n - 1}$

Qualquer dúvida é só avisar.