• Matéria: Matemática
  • Autor: sopratestar
  • Perguntado 8 anos atrás

Na figura a seguir, têm-se a reta r tangente à circunferência de centro C e o triângulo equilátero ABC, cujo
lado mede 10√2.
Determine a área sombreada
Quem puder ajudar explica com o cálculo por favor !

Anexos:

Respostas

respondido por: brenoreis17
9
Bom, é o seguinte, você vai descobrir a altura do triângulo equilátero (que além de ser a altura do triângulo, também vai ser o raio da circunferência):

Lembra como se calcula a altura do triângulo equilátero? Tem a fórmula:

h =  \frac{l \sqrt{3} }{2}

Como o lado vale 10√2, você substitui "l" por 10√2:

h =  \frac{l\sqrt{3}}{2}  \\  \\ h =  \frac{10\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2} ==\ \textgreater \  5\sqrt{6}

Então o raio vale 5√6. A área que ele pede é a de um setor circular, que se faz com a seguinte regra de três:

 \frac{360}{60} =  \frac{\pi.r^2}{x}

Porque 60 graus? Porque o triângulo equilátero têm todos os ângulos iguais a 60º. Na fórmula, você sempre coloca o 360 igual a πr² (ângulo total igual a área total) e embaixo você coloca o ângulo que você tem e chama a área de "x"), assim:

 \frac{360}{60} =  \frac{\pi.r^2}{x}  \\  \\ 360x = 60.\pi.(5\sqrt{6})^2 \\  \\ x =  \frac{60.\pi.25.6}{360} =  \frac{9000\pi}{360}  \\  \\ x = 25\pi

Essa é a área do setor circular da figura.


sopratestar: MUITO OBRIGADA !
respondido por: decioignacio
2
raio da circunferência ⇒ altura do Δ equilátero
h=  _lado√3_ ⇒ h = _(10√2)√3_ ⇒ h = _10√6_ ⇒ h = 5√6
             2                         2                        2
mas R = h ⇒ R = 5√6
área sombreada ⇒ setor de 60°(cada ângulo interno do Δ = 60°)
sabendo que 60° ⇒  _1_ de 360° do círculo
                                   6
então S = _πR²_ ⇒ S = _π(5√6)²_ ⇒ S = _25×6π_ ⇒ S = 25π
                    6                        6                        6
                   
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