Question

Na figura a seguir, têm-se a reta r tangente à circunferência de centro C e o triângulo equilátero ABC, cujo
lado mede 10√2.
Determine a área sombreada
Quem puder ajudar explica com o cálculo por favor !

Answer 1

Bom, é o seguinte, você vai descobrir a altura do triângulo equilátero (que além de ser a altura do triângulo, também vai ser o raio da circunferência):

Lembra como se calcula a altura do triângulo equilátero? Tem a fórmula:

$h = \frac{l \sqrt{3} }{2}$

Como o lado vale 10√2, você substitui "l" por 10√2:

$h = \frac{l\sqrt{3}}{2} \\ \\ h = \frac{10\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2} ==\ \textgreater \ 5\sqrt{6}$

Então o raio vale 5√6. A área que ele pede é a de um setor circular, que se faz com a seguinte regra de três:

$\frac{360}{60} = \frac{\pi.r^2}{x}$

Porque 60 graus? Porque o triângulo equilátero têm todos os ângulos iguais a 60º. Na fórmula, você sempre coloca o 360 igual a πr² (ângulo total igual a área total) e embaixo você coloca o ângulo que você tem e chama a área de "x"), assim:

$\frac{360}{60} = \frac{\pi.r^2}{x} \\ \\ 360x = 60.\pi.(5\sqrt{6})^2 \\ \\ x = \frac{60.\pi.25.6}{360} = \frac{9000\pi}{360} \\ \\ x = 25\pi$

Essa é a área do setor circular da figura.

Answer 2

raio da circunferência ⇒ altura do Δ equilátero
h=  _lado√3_ ⇒ h = _(10√2)√3_ ⇒ h = _10√6_ ⇒ h = 5√6
             2                         2                        2
mas R = h ⇒ R = 5√6
área sombreada ⇒ setor de 60°(cada ângulo interno do Δ = 60°)
sabendo que 60° ⇒  _1_ de 360° do círculo
                                   6
então S = _πR²_ ⇒ S = _π(5√6)²_ ⇒ S = _25×6π_ ⇒ S = 25π
                    6                        6                        6