Question

qual a posição relativa entre a reta X(t)=(1-t, -1, 2+4t) e o plano 4x-y+z=7??

Answer 1

Equação vetorial da reta:

$r: \, x=(1,-1,2) + \lambda(-1,0,4)$

Um vetor normal ao plano:

$\pi : \, 4x-y+z=7 \\ \\ n=(4,-1,1)$

Vamos considerar apenas o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano:

a) Se esses dois vetores forem proporcionais, a reta e o plano formam um ângulo de 90º entre si. Já não é o caso da nossa reta e do nosso plano.

b) Caso não forem proporcionais, então a reta pode estar contida no plano, pode apenas tocar o plano em um ponto ou também, pode estar apenas paralela ao plano sem tocá-lo, mas para a reta ser paralela ao plano, seu vetor diretor deve formar um ângulo de 90º com o vetor normal ao plano.

Nossa reta está contida no plano, pois qualquer ponto da reta pertence ao plano. Vamos conferir com o ponto P = (1,-1,2) da reta. Lembrando que para um ponto pertencer ao plano, as substituições devem ser igual ao termo independente da equação geral do plano.

$4x-y+z=7 \\ \\ 4 \cdot 1 -(-1)+2=7 \\ \\ 4+1+2=7 \\ \\ 7=7$

Também pode conferir com outros pontos da reta. Todos pertencerão ao plano.

Outra prova é que quando consideramos a seguinte equação para determinar um valor de lambda e encontrar os pontos de interseção entre o plano e a reta, considerando sua equação paramétrica,

$r: \left[\begin{array}{ccc}x=1-\lambda\\y=-1\\z=2+4\lambda\end{array}\right \\ \\ \\ \pi: \, 4x-y+z=7 \\ \\ 4 \cdot (1-\lambda)-(-1)+(2+4\lambda)=7 \\ \\ 4-4\lambda+1+2+4\lambda=7 \\ \\ 4-4\lambda+1+2+4\lambda-7=0 \\ \\ \boxed{0}$

a expressão cai em um zero bonito.

Espero ter ajudado!