Question

(Fuvest - SP) Se tg x= 3/4 e π < x < 3π/2, o valor de cos x - sen x é

Answer 1

Se  tg x = 3/4  e  π < x < 3π/2  (3º quadrante),  calcular o valor da expressão
cos x − sen x.

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     Solução:

Partindo da definição de tangente,

     $\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}=\dfrac{3}{4}\\\\\\ 4\,\mathrm{sen\,}x=3\cos x\qquad\quad\mathbf{(i)}$


Eleve os dois lados ao quadrado:

     $(4\,\mathrm{sen\,}x)^2=(3\cos x)^2\\\\ 4^2\,\mathrm{sen^2\,}x=3^2\cos^2 x\\\\ 16\,\mathrm{sen^2\,}x=9\cos^2 x$


Mas  sen² x = 1 − cos² x.  Então, ficamos com

     $16\cdot (1-\cos^2 x)=9\cos^2 x\\\\ 16-16\cos^2 x=9\cos^2 x\\\\ 16=9\cos^2 x+16\cos^2 x\\\\ 16=(9+16)\cos^2 x\\\\ 16=25\cos^2 x\\\\ \cos^2 x=\dfrac{16}{25}$


Tomando raízes quadradas de ambos os lados,

     $\cos x=\pm\,\sqrt{\dfrac{16}{25}}\\\\\\ \cos x=\pm\,\dfrac{4}{5}$


Mas como  x  é um arco do 3º quadrante, o cosseno de  x  é negativo. Portanto,

     $\cos x=-\,\dfrac{4}{5}$          ✔


Encontramos o valor do seno de  x  pela relação  (i):

     $4\,\mathrm{sen\,}x=3\cos x\\\\ \mathrm{sen\,}x=\dfrac{3}{4}\cos x\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\dfrac{3}{\diagup\!\!\!\!4}\cdot \left(\!-\,\dfrac{\diagup\!\!\!\! 4}{5}\right)$

     $\mathrm{sen\,}x=-\,\dfrac{3}{5}$          ✔


Finalmente, o valor da expressão pedida é

      $\cos x-\mathrm{sen\,}x=-\,\dfrac{4}{5}-\!\left(\!-\,\dfrac{3}{5}\right)\\\\\\ \cos x-\mathrm{sen\,}x=-\,\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}\\\\\\ \cos x-\mathrm{sen\,}x=\dfrac{-\,4+3}{5}$

     $\cos x-\mathrm{sen\,}x=-\,\dfrac{1}{5}\quad\longleftarrow\quad \textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)