A probabilidade de se vencer uma partida de certo jogo é de 10%. Quantas partidas devem ser jogadas em sequência
para que a probabilidade de que haja vitória em pelo menos uma delas seja superior a 99%? Se necessário, use
log(3) = 0,477.
Resposta: 44
Comente a resolução, por favor
Anônimo:
ESTÁ ERRADO!
Segue resolução em nome do Instituto Federal do Paraná- CAMPUS Curitiba: Probabilidade de erros -> 1% = (90%)n
Log 0,01≥ (0,9)ⁿ log
-2≥ n.log(0,9)
-2≥n.log(9/10)
-2≥n.2log3-log10
-2 ≥n.2.0,477-1
-2 ≥ n.0,954-1
-2 ≥ n . -0,046
n ≥ -2 / -0,046
n ≥ 43,47
n ≥ 43,5
n ≥ 44
OBS.: Cálculos à mão, dado que é proibido o uso de calculadoras no vestibular e demais exames de larga escala. OBS.2.: Atenção para quem valida as respostas do Brainly...
Log 0,01≥ (0,9)ⁿ log
-2≥ n.log(0,9)
-2≥n.log(9/10)
-2≥n.2log3-log10
-2 ≥n.2.0,477-1
-2 ≥ n.0,954-1
-2 ≥ n . -0,046
n ≥ -2 / -0,046
n ≥ 43,47
n ≥ 43,5
n ≥ 44
OBS.: Cálculos à mão, dado que é proibido o uso de calculadoras no vestibular e demais exames de larga escala. OBS.2.: Atenção para quem valida as respostas do Brainly...
Probabilidade de vitória em pelo menos uma delas>99%
######Se não ocorrer, teremos:
Probabilidade de vitória em pelo menos uma delas >=1%=0,01
Façamos para o segundo Caso..
Probabilidade de vencer =10%=0,1
Probabilidade de perder =90%=0,9
Perder Todas =>0,9^(n) <= 0,01
(9/10)^(n) >= 0,01
log (9/10)^(n) >= log 0,01
n * [log 3² - log 10] > =(-2) * log 10
n * [2*log 3 - 1] > =(-2) * log 10
n * [2*0,477 - 1] > =(-2)
n * (-0,046) > =(-2)
n <= ~ 43,478260869565....
nos interessa um número acima....
n=44 partidas
######Se não ocorrer, teremos:
Probabilidade de vitória em pelo menos uma delas >=1%=0,01
Façamos para o segundo Caso..
Probabilidade de vencer =10%=0,1
Probabilidade de perder =90%=0,9
Perder Todas =>0,9^(n) <= 0,01
(9/10)^(n) >= 0,01
log (9/10)^(n) >= log 0,01
n * [log 3² - log 10] > =(-2) * log 10
n * [2*log 3 - 1] > =(-2) * log 10
n * [2*0,477 - 1] > =(-2)
n * (-0,046) > =(-2)
n <= ~ 43,478260869565....
nos interessa um número acima....
n=44 partidas
Respostas
respondido por:
26
Raciocínio para este exercício:
=> Note que é pedido:
""..a probabilidade de que haja vitória em PELO MENOS UMA delas seja superior a 99%.."" ...ou seja P(X ≥ 1) --> Isto implica que só NÃO INTERESSA a probabilidade de NÃO HAVER vitórias ...ou seja P(X = 0)
Considerando "X" como "vitória" (sucesso) e "Y" como "não vitória" (insucesso) temos agora uma relação (igualdade) importante para este exercício P(x = 0) = P(y ≥ 1) ..deu para entender até aqui??
...A partir desta última igualdade, e recorrendo ao conceito de probabilidade complementar, chegamos á nossa definição da probabilidade pedida e que será:
P(X ≥ 1) = 1 - P(Y ≥ 1)
...como queremos que P(X ≥ 1) ≥ 0,99 ...então teremos finalmente:
0,99 ≤ 1 - P(Y ≥ 1)
...e agora a dificuldade está limitada ao cálculo de P(Y ≥ 1) e para isso teremos de recorrer a uma Binomial
recordando os dados do problema:
Probabilidade de sucesso (X) = 0,1 ...implica uma probabilidade de insucesso (Y) de 1- 0,1 = 0,9
como desconhecemos o número de tentativas necessárias ..então vamos considerá-las como "n"
Deste modo a nossa Binomial ficará definida da seguinte forma:
C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾
agora resta integrá-la na inequação de probabilidade indicada em cima ..assim:
0,99 ≤ 1 - P(Y ≥ 1)
substituindo
0,99 ≤ 1 - [C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾]
acabamos o nosso raciocínio vamos passar á resolução:
0,99 ≤ 1 - [C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾]
0,99 ≤ 1 - { [n!/0!(n - 0)!] . (1) . (0,9)ⁿ}
0,99 ≤ 1 - { [n!/1(n!] . (1) . (0,9)ⁿ}
0,99 ≤ 1 - [ (1) . (1) . (0,9)ⁿ]
0,99 ≤ 1 - (0,9)ⁿ
0,99 -1 ≤ - (0,9)ⁿ
- 0,01 ≤ - (0,9)ⁿ
....multiplicando por (-1)
0,01 ≤ (0,9)ⁿ
..recorrendo ás propriedades dos logaritmos
Log 0,01 ≤ n . Log 0,9
-4,605170186 ≤ n . -0,1053605
(-4,605170186)/(-0,1053605) ≤ n
43,708691 ≤ n <-- Valor de "n" ...o que implica um número de tentativas (inteiro) de 44 tentativas
agora só falta verificar a solução:
=> PARA "n" = 43 teremos:
P(X ≥ 1) = 1 - (0,9)⁴³
P(X ≥ 1) = 1 - 0,010775264
P(X ≥ 1) = 0,9892247 ...logo "n" = 43 ..não satisfaz as condições da probabilidade pedida
=> PARA "n" = 44 teremos:
P(X ≥ 1) = 1 - (0,9)⁴⁴
P(X ≥ 1) = 1 - 0,009697737
P(X ≥ 1) = 0,9903023 "n" = 44 é a solução da nossa probabilidade
Espero ter ajudado
=> Note que é pedido:
""..a probabilidade de que haja vitória em PELO MENOS UMA delas seja superior a 99%.."" ...ou seja P(X ≥ 1) --> Isto implica que só NÃO INTERESSA a probabilidade de NÃO HAVER vitórias ...ou seja P(X = 0)
Considerando "X" como "vitória" (sucesso) e "Y" como "não vitória" (insucesso) temos agora uma relação (igualdade) importante para este exercício P(x = 0) = P(y ≥ 1) ..deu para entender até aqui??
...A partir desta última igualdade, e recorrendo ao conceito de probabilidade complementar, chegamos á nossa definição da probabilidade pedida e que será:
P(X ≥ 1) = 1 - P(Y ≥ 1)
...como queremos que P(X ≥ 1) ≥ 0,99 ...então teremos finalmente:
0,99 ≤ 1 - P(Y ≥ 1)
...e agora a dificuldade está limitada ao cálculo de P(Y ≥ 1) e para isso teremos de recorrer a uma Binomial
recordando os dados do problema:
Probabilidade de sucesso (X) = 0,1 ...implica uma probabilidade de insucesso (Y) de 1- 0,1 = 0,9
como desconhecemos o número de tentativas necessárias ..então vamos considerá-las como "n"
Deste modo a nossa Binomial ficará definida da seguinte forma:
C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾
agora resta integrá-la na inequação de probabilidade indicada em cima ..assim:
0,99 ≤ 1 - P(Y ≥ 1)
substituindo
0,99 ≤ 1 - [C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾]
acabamos o nosso raciocínio vamos passar á resolução:
0,99 ≤ 1 - [C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾]
0,99 ≤ 1 - { [n!/0!(n - 0)!] . (1) . (0,9)ⁿ}
0,99 ≤ 1 - { [n!/1(n!] . (1) . (0,9)ⁿ}
0,99 ≤ 1 - [ (1) . (1) . (0,9)ⁿ]
0,99 ≤ 1 - (0,9)ⁿ
0,99 -1 ≤ - (0,9)ⁿ
- 0,01 ≤ - (0,9)ⁿ
....multiplicando por (-1)
0,01 ≤ (0,9)ⁿ
..recorrendo ás propriedades dos logaritmos
Log 0,01 ≤ n . Log 0,9
-4,605170186 ≤ n . -0,1053605
(-4,605170186)/(-0,1053605) ≤ n
43,708691 ≤ n <-- Valor de "n" ...o que implica um número de tentativas (inteiro) de 44 tentativas
agora só falta verificar a solução:
=> PARA "n" = 43 teremos:
P(X ≥ 1) = 1 - (0,9)⁴³
P(X ≥ 1) = 1 - 0,010775264
P(X ≥ 1) = 0,9892247 ...logo "n" = 43 ..não satisfaz as condições da probabilidade pedida
=> PARA "n" = 44 teremos:
P(X ≥ 1) = 1 - (0,9)⁴⁴
P(X ≥ 1) = 1 - 0,009697737
P(X ≥ 1) = 0,9903023 "n" = 44 é a solução da nossa probabilidade
Espero ter ajudado
bela resposta, Manuel!
Mais uma de suas Obras de Arte perfeitas !!!
Se não é genial, não é Manuel... Obrigado por compartilhar todo esse conhecimento! =D exímia resposta (qual não é,né?!)
desculpe a pergunta, mas este binomial é o da fórmula de newton?
sim ..mas é pouco usual ...temos um "n" como incógnita ..mas de resto é idêntico ..apenas pouco usual..
Agradeço (mesmo) os simpáticos comentários feitos por vcs (Cintia44, Camponesa, JoaoPCarv)
TA CERTOOOL
Probabilidade de erros 1% = (90%)n
Log 0,01≥ (0,9)ⁿ log
-2≥ n.log(0,9)
-2≥n.log(9/10)
-2≥n.2log3-log10
-2 ≥n.2.0,477-1
-2 ≥ n.0,954-1
-2 ≥ n . -0,046
n ≥ -2 / -0,046
n ≥ 43,47
n ≥ 43,5
n ≥ 44
RESOLUÇÃO EM NOME DO INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ, CAMPUS CURITIBA (1° ano do ensino médio!)
Log 0,01≥ (0,9)ⁿ log
-2≥ n.log(0,9)
-2≥n.log(9/10)
-2≥n.2log3-log10
-2 ≥n.2.0,477-1
-2 ≥ n.0,954-1
-2 ≥ n . -0,046
n ≥ -2 / -0,046
n ≥ 43,47
n ≥ 43,5
n ≥ 44
RESOLUÇÃO EM NOME DO INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ, CAMPUS CURITIBA (1° ano do ensino médio!)
de nada Manuel! =)
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