Question

Calcule o domínio, a imagem e a expressão da função inversa de f(x)=√(-5x+10) -6. Se alguém poder me ajudar, pfv...

Answer 1

Antes de calcular a função inversa, vamos determinar o domínio e a imagem da função f(x):

$f(x)=\sqrt{-5x+10}-6$

Como a função tem uma raiz, o domínio está restrito a valores para os quais o termo dentro da raiz é positivo ou nulo. Assim, determinamos o domínio através de uma inequação:

$-5x+10\geq0$
$-5x\geq-10$
$5x\leq10$
$x\leq2$

Assim, o domínio da função original é:

$x\leq2$

Agora, vamos determinar a imagem. Para fazer isso, basta olharmos para a função. Temos uma raiz, que assume qualquer valor maior ou igual a zero, somada a um termo constante. Assim a imagem de f(x) é

$f(x)\geq-6$ .

Agora, vamos calcular a função inversa. Para isso, escrevemos y = f(x) e escrevemos x em função de y. Isto é,

$y=\sqrt{-5x+10}-6$
$y+6=\sqrt{-5x+10}$
$(y+6)^2=-5x+10$
$5x=-(y+6)^2+10$
$x=-\frac{1}{5}(y+6)^2+2$

A função inversa é, portanto,

$f^{-1}(y)=-\frac{1}{5}(y+6)^2+2$

Quanto ao domínio e a imagem da função inversa, temos que o domínio da função original é a imagem da inversa, bem como a imagem da função original é o domínio da inversa.

Portanto, o domínio da função inversa é 

$y\geq-6$ 

e sua imagem

$f^{-1}(y)\leq2$ .