Question

Determine o valor de a na expressão (em anexo), sabendo-se que 0 < a < 1,

onde Z é um número complexo que satisfaz a equação:

2^(4033).Z^(2)-2^(2017).Z+1=0

a) 1/4
b) 1/8
c) 1/16
d) 1/32
e) 1/64

Obs: Im(Z) é a parte imaginária do número complexo Z

#Calculos e explicação por favor a

Answer 1

Olá, Emanueli! 

Vou definir esse colog:

$\star~\boxed{colog_a b := -log_a b}$

E as propriedade de logaritmos que vamos usar: a do expoente do logaritmando e da base

$\star~\boxed{log_ab^n = n\cdot log_ab}$

$\star~\boxed{log_{(a^n)}b = \dfrac{1}{n} \cdot log_ab}$

É fácil notar que se tivermos vários expoentes, teremos:

$log_ab^{log_kc^{log_ld^{e}}} = log_ab\cdot log_kc^{log_l d^e} = log_ab\cdot log_kc\cdot log_ld^e=\\ \\ = log_ab\cdot log_kc\cdot log_ld\cdot e$

Ou seja, nos reduzimos à multiplicação dos logaritmos nos expoentes.

Assim, fica mais simples atacar esse problema, pois temos o produto dos expoentes:

$Im(Z) = \frac{1}{16}log_a256\cdot colog_{a^2}256\cdot log_{a^4}256\cdot ~\dots~\cdot colog_{a^{2^{65}}}256$

Como $256=2^8$ , podemos passar o expoente 8 multiplicando e o expoente dos a dividindo uma mesma fração, e o melhor, será numérica.

$Im(Z) = \frac{8}{16} log_a2\cdot (-1)\cdot\frac82 log_a2\cdot\frac84 log_a2\cdot ~\dots~\cdot (-1)\cdot \frac{8}{2^{65}}log_a2$

Precisamos saber a quantidade de termos -1 que existe nesse produto. Veja que os 2 com expoentes ímpar nos ajudam a contar os sinais negativos. Os expoentes são uma PA de razão 2, primeiro termo 1 e último termo 65.

$a_n = a_1 + (n-1)r\\ 65 = 1 + (n-1)2\\ \frac{64}{2} = n - 1\\ \\ 32 = n - 1\iff \underline{n = 33}$

Assim, temos o produto $(-1)^{33} = -1$. Logo, mantemos o sinal negativo.

A quantidade de termos de logaritmos na base a pode ser facilmente descoberta como 66, pois temos os 65 dos expoentes somado ao primeiro logaritmo. Assim, ficamos nesse produto com $(log_a2)^{66}$ .

Como a quantidade de 8 é a mesma da de log, temos um $8^{66}$.

Nosso problema agora é o expoente do 2. Temos um produto de 2 indo de 1 a 65. A soma é dos termos de uma P.A., e veja que há um 2 a menos que a quantidade de 8, logo, 65. Por isso, a soma dos expoentes será:

$S = \dfrac{(1 +65).65}{2} = 2145$

Agora sim, reduzimos bem a expressão:

$Im(Z) =- \dfrac{8^{66}}{16\cdot 2^{2145}}(log_a2)^{66}$

Como 8 = 2³ e 16 = 2⁴, podemos usar as propriedades de fração e descobrir o expoente do 2 final:

$\dfrac{(2^3)^{66}}{2^4\cdot 2^{2145}} = 2^{198-4-2145} = \dfrac{1}{2^{1951}}$

Isto é:

$Im(Z) = -\dfrac{1}{2^{1951}}(log_a2)^{66}$

Agora vem a parte bolinho, resolver a equação do segundo grau em Z dada:

$2^{4033}Z^2 - 2^{2017}Z+1 = 0\\ \\ \Delta = 2^{4034}-2^2 \cdot 2^{4033} = 2^{4034}(1 - 2) = -2^{4034}\\ \\ \sqrt\Delta = 2^{2017}i\\ \\ \\ Z = \dfrac{2^{2017}\pm 2^{2017}i}{2\cdot 2^{4033}}=\dfrac{2^{2017}\pm 2^{2017}i}{2^{4034}} = 2^{-2017}\pm 2^{-2017}i\\ \\ \\ Im(Z) = \pm2^{-2017}$

Vamos comparar :D

$-\dfrac{1}{2^{1951}}(log_a 2)^{66} = \pm 2^{-2017}\\ \\ (log_a2)^{66} = \pm2^{-2017+1951} = \pm2^{-66}$

No primeiro membro temos o logaritmo(número real) elevado a 66(par), logo, teremos apenas o valor positivo:

$(log_a2)^{66} = (2^{-1})^{66}$

Se tirarmos a raiz 66 dos dois lados, ficamos com módulo:

$|log_a2| = \dfrac{1}{2}\Rightarrow log_a2 = \dfrac12~~~~~~ou ~~~~~log_a2 = -\dfrac12\\ \\ \\ a^{\frac{1}{2}} =2 ~~~~ ou ~~~~~~~a^{\frac12} = \frac{1}{2}\\ \\ a = 4(N\tilde ao \ serve)~~~~~~~ou~~~~~~~a=\dfrac{1}{4} ~~(OK)$


Portanto,

$\boxed{\boxed{a = \frac14}}$

Alternativa a.



Ufa! :)