Question

Resolva a integral xsen5xdx, utilizando o método de integração por partes

Answer 1

Oi. Boa Tarde

Vamos lá . Definir quem será u e dv 
u= x                      dv=sen(5x)

Derivando u:
$\frac{du}{dx}=1 \\ du=dx$

Integrando dv encontramos v:
$v= \int\limits {sen5x} \, dx \\ \\ v=- \frac{1}{5}cos5x$

Pronto;. Agora é só substituir os valores no formato:

$uv- \int\limits {v} \, du \\ \\ x.(- \frac{1}{5}cos5x )-\int\limits {- \frac{1}{5}cos5x } \, dx \\ \\ -\frac{1}{5}xcos5x+ \frac{1}{5} \int\limits {cos5x } \, dx$

Agora vamos integrar cos5x pelo metódo da substuição:
u=5x
$\frac{du}{dx} =5 \\ \\ dx= \frac{du}{5}$

$-\frac{1}{5}xcos5x+ \frac{1}{5} \int\limits {cosu } \, \frac{du}{5} \\ \\ -\frac{1}{5}xcos5x+ \frac{1}{25} \int\limits {cosu } \, du \\ \\ -\frac{1}{5}xcos5x+ \frac{1}{25} senu+C \\ \\ -\frac{1}{5}xcos5x+ \frac{1}{25} sen5x+C$