Question

o valor da expressão y=cós 150° + sen 300° -tg 225°-cós 90° ė?

Answer 1

cos (150°) = - cos (30°) = - √3
                                           2
sen ( 300°) = - sen (60°) = - √3                                            
                                             2
tg (225°) =  tg (45°) = 1
- cos (90°) = 0
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y = cos ( 150°) + sen (300°) - tg (225°) - cos (90°)
y = - √3  - √3 - 1 + 0 = - 2√3 - 1 = - √3 - 1
        2        2                    2


   

Answer 2

Com os estudos sobre arcos temos como resposta y = -√3/2 + (-√3/2) - 1 - 0 = -1.

Adição de arcos

Antes de resolver vamos pensar um pouco na seguinte sentença sen(a + b) = sena+senb. Essa sentença é uma identidade no universo U de todos os valores de a e b? Para que fosse identidade em U, essa sentença deveria tornar-se verdadeira para quaisquer valores reais atribuídos as variaveis a e b.

Exemplo

• $sen(\pi +\frac{\pi }{2})=sen\pi +sen\frac{\pi }{2}=0+1$ ∴ $sen(\frac{3\pi }{2})=1 falso$.

Essa igualdade é falsa, pois $sen(\pi +\frac{\pi }{2} )=sen\frac{3\pi }{2}=-1$. Concluímos que sen(a + b) = sen a + sen b não é identidade em U. Conclusões para cosseno e tangente são análogas. As fórmulas corretas são

• sen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a
• sen (a - b) = sen a . cos b - sen b. cos a
• cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
• cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b
• tg (a + b) = (tg a+ tg b)/(1 - tg a . tg b)
• tg (a - b) = (tg a - tg b)/(1+ tg a . tg b)

Vamos determinar agora o valor da expressão, começando pelo valor do cos 150°. O valor de cos(150) é -√3/2. Observe que o número 150 é igual à soma entre 60 e 90, ou seja, 150 = 60 + 90. Então, podemos dizer que cos(150) = cos(60 + 90).

Note que temos um cosseno da soma. O cosseno da soma é definido por: cos(a + b) = cos(a) . cos(b) - sen(a) . sen(b). Sendo assim, temos que

• cos(60 + 90) = cos(60).cos(90) - sen(60).sen(90).

Precisamos dos valores de cos(60), cos(90), sen(60) e sen(90). Vale ressaltar que o seno de 60º é igual a √3/2 enquanto que o cosseno de 60º é igual a 1/2. Já o seno de 90º é igual a 1 e o cosseno de 90º é igual a 0. Substituindo esses valores no cosseno da soma, obtemos

• cos(150) = (1/2).0 - (√3/2).1
• cos(150) = -√3/2.

Vamos agora encontrar o sen 300°. Para isso vamos usar a seguinte relação "360º - 300º = 60º". Significa que sen 300º = sen60º =  $-\sqrt{3}/2$ ( negativo porque 300º está no IV QUADRANTE.)

Agora vamos calcular a tg 225°. tg 225º = tg ( 225º – 180º) ⇒ tg 225º = tg 45º. Sabemos que a tg45º = 1, então tg 225º = 1. Por fim o cos 90° = 0. Agora podemos determinar o valor de y. Portanto, o valor de y = -√3/2 + (-√3/2) - 1 - 0 = - √3 - 1

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