Question

Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)

Answer 1

No método de Newton Raphson, a raiz de uma função é calculada por

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f\'(x_n)}$ ,

onde 

$f\'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}$ .

A função dada é:

$f(x)=3x^4-x-3$ .

Sua derivada é

$f(x)=12x^3-1$ .

Portanto, utilizando a fórmula do método de Newton Raphson na primeira iteração com o valor inicial x0=1, obtemos:

$x_{1}=x_0-\frac{f(x_0)}{f\'(x_0)}$ 
$x_{1}=x_0-\frac{3x_{0}^{4}-x_{0}-3}{12x_{0}^{3}-1}$ 
$x_{1}=1-\frac{3\cdot{1}^{4}-1-3}{12\cdot{1}^{3}-1}$ 
$x_{1}=1,0909$ 

Utilizando o valor obtido na primeira iteração, podemos calcular um novo valor numa segunda iteração:

$x_{2}=x_1-\frac{f(x_1)}{f\'(x_1)}$ 
$x_{2}=x_1-\frac{3x_{1}^{4}-x_{1}-3}{12x_{1}^{3}-1}$ 
$x_{2}=1,0909-\frac{3\cdot{1,0909}^{4}-1,0909-3}{12\cdot{1,0909}^{3}-1}$
$x_{2}=1,0800$

Assim, com duas iterações, o método de Newton Raphson nas dá a raiz x = 1,0800 para a função dada.