Question

se um dado não viciado é lançado três vezes sucessivamente, qual é a probabilidade dos produtos resultatem em 20?

Answer 1

$A_r_{(n,p)} \ = \ n^p \ \rightarrow \\ \\ A_r_{(n,p)} \ \rightarrow \ Arranjos \ com \ repeti\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ vagas.$

$P^{^{(r_x)}}_{_{(n)}} \ = \ \frac{n!}{r_x!} \rightarrow \\ \\ P^{^{(r_x)}}_{(n)} \ = \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ com \ r_x \ repetidos.$

$Espa\c{c}o \ amostral \ de \ um \ dado : \ \{1,2,3,4,5,6 \}. \\ \\ Vamos \ decompor \ 20 \ \longrightarrow \ \boxed{20 \ = \ 2^2 \ \cdot \ 5}$


$Ou \ seja, \ em \ fatores \ primos, \ temos \ \Rightarrow \\ \\ 20 \ = \ \underbrace{2 \ \cdot \ 2}_{= \ 4} \ \cdot \ 5 \ \cdot \ 1^{n}, \ n \ \in \ \mathbb{N}$

$Ou \ seja, \ n\~ao \ tem \ nenhum \ valor \ \ \textgreater \ \ espa\c{c}o \ amostral. \ \checkmark \\ \\ Al\'em \ disso, \ as \ combina\c{c}\~oes \ favor\'aveis \ s\~ao \ bem \ limitadas, \ veja \\ que \ todas \ ficar\~ao \ dentro \ dos \ fatores \ primos \ de \ 20 \\ al\'em \ do \ 'n\'umero \ neutro', \ 1. \\ \\ Ou \ seja, \ temos \ \longrightarrow$

$\bullet \ 1,4,5 : \\ \\ Vamos \ considerar \ as \ permutas \ nos \ lan\c{c}amentos. \ S\~ao \ 3 \ elementos \\ n\~ao \ repetidos \ que \ podem \ sair \ das \ seguintes \ formas, \ formando \\ os \ seguintes \ jogos \ de \ possibilidades \ : \\ \\ P^{^{(0)}}_{_{3}} \ = \ \frac{3!}{0!} \ = \ \frac{3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1}{1} \ = \ \boxed{6 \ possibilidades}$

$\bullet \ 2,2,5 : \\ \\ Novamente, \ \`as \ permutas \ nos \ lan\c{c}amentos. \ Temos \ 2 \\ elementos \ '2' \ repetidos: \\ \\ P^{^{(2)}}_{_{3}} \ = \ \frac{3!}{2!} \ = \ \frac{3 \ \cdot \ \not{2!}}{\not{2!}} \ = \ \boxed{2 \ possibilidades}$

$Os \ casos \ favor\'aveis \ s\~ao \ ent\~ao \ \longrightarrow \\ \\ \underbrace{6}_{1,4,5} \ + \ \underbrace{3}_{2,2,5} \ = \ \boxed{9 \ casos \ favor\'aveis}$

$Ok. \ Os \ casos \ totais \ s\~ao \ simplesmente \ o \ arranjo \ de \ n \ = \ 6 \\ elementos \ em \ p \ = \ 3 \ vagas \ (com \ repeti\c{c}\~ao) : \\ \\ A_{r}_{(6,3)} \ = \ 6^3 \ = \ \boxed{216 \ casos \ totais}$

$Logo, \ a \ probabilidade \ pedida \ fica : \\ \\ \frac{9}{216} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{1}{24}}}$