Question

Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem velocidade igual a $\displaystyle v(t) = t^2 e^{\displaystyle -t}$ metros por segundo após t segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá durante os primeiros t segundos?

Answer 1

Para encontrar a função posição dessa partícula, teremos que integrar a função velocidade, e faremos isso por meio da integral por partes.

$\displaystyle \int t^2 e^{\displaystyle -t} \, dt \\ \\ \\ -t^2e^{\displaystyle -t} + \int 2t \cdot e^{\displaystyle -t} \, dt \\ \\ \\ -t^2e^{\displaystyle -t} + (-2t \cdot e^{\displaystyle -t}+\int 2e^{\displaystyle -t} \, dt) \\ \\ \\ -t^2e^{\displaystyle -t} + (-2t \cdot e^{\displaystyle -t}+2\int e^{\displaystyle -t} \, dt) \\ \\ \\ -t^2e^{\displaystyle -t} + (-2t \cdot e^{\displaystyle -t}+2(-e^{\displaystyle -t}))$

$\displaystyle -t^2e^{\displaystyle -t} + (-2t \cdot e^{\displaystyle -t}-2e^{\displaystyle -t}) \\ \\ \\ -t^2e^{\displaystyle -t} - 2t \cdot e^{\displaystyle -t} - 2e^{\displaystyle -t} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{-e^{\displaystyle -t} \cdot (t^{2}+2t+2) \, m }}$