Question

(UEPB 2006) Sabendo que sen a − cos a = 2/5, o sen 2a será igual a:

Answer 1

Sabendo que  sen a − cos a = 2/5,  calcular  sen 2a.


     Solução:

Eleve ao quadrado os dois lados da igualdade dada.

     $(\mathrm{sen\,}a-\cos a)^2=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\!2}$

No lado esquerdo, expanda o quadrado da diferença usando produtos notáveis:

     $\mathrm{sen^2\,}a-2\,\mathrm{sen\,}a\cos a+\cos^2 a=\dfrac{4}{25}\\\\\\ (\mathrm{sen^2\,}a+\cos^2 a)-2\,\mathrm{sen\,}a\cos a=\dfrac{4}{25}$

Mas

     •   sen² a + cos² a = 1     (identidade trigonométrica fundamental)

     •   2 sen a cos a = sen 2a     (seno do arco duplo)
     

Assim, a igualdade fica

     $1-\mathrm{sen\,}2a=\dfrac{4}{25}\\\\\\ \mathrm{sen\,}2a=1-\dfrac{4}{25}\\\\\\ \mathrm{sen\,}2a=\dfrac{25-4}{25}$

     $\mathrm{sen\,}2a=\dfrac{21}{25}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)