Question

uma pedra lançada de uma altura de 16m em relação ao solo e atinge o chão após 8 segundos com base no grafico abaixo, determine a altura h máxima atingida pela pedra.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fernando, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Tem-se que uma pedra foi lançada de uma altura de 16 metros, conforme mostra a figura anexada à questão. Essa pedra atinge o chão após 8 segundos do seu lançamento. Pede-se a altura máxima que essa pedra atingiu (vide gráfico acima).
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que já temos o "x" do vértice da parábola (xv), que é quando x = 3. E note que o "x" do vértice (xv), em uma equação do 2º grau, da forma y = ax² + bx + c, será dado pela seguinte fórmula:

xv = - b/2a ----- como já vimos pela figura que o "x" do vértice é igual a "3", então vamos substituir "xv" por "3", ficando:

3 = -b/2a --- multiplicando-se em cruz, teremos:
2a*3 = - b
6a = - b ------ vamos apenas inverter, ficando:
- b = 6a --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
b = - 6a      . (I)

ii) Agora veja: a parábola da equação da sua questão está cortando o eixo dos "y" em y = 16. Nesse instante o "x" da equação y = ax²+bx+c será igual a "0". Assim, teremos:

16 = a*0² + b*0 + c
16 = a*0 + b*0 + c
16 = 0 + 0 c --- ou apenas:
16 = c --- ou, invertendo-se:
c = 16      . (II)

iii) Agora veja mais isto: a parábola vai cortar o eixo dos "x" na raiz x = 8 (lembre-se: após 8 segundos a pedra caiu no chão. Logo "8" será uma das raízes da equação dada). E, nesse instante teremos que "y" = 0. Então a nossa função, que é esta:

y = ax² + bx + c ficará sendo (note que quando x = 8, que é uma raiz, então y = 0). Assim:

0 = a*8² + b*8 + c
0 = a*64 + b*8 + c
0 = 64a + 8b + c ---- como já vimos, pela expressão (I), que b = - 6a e também como já vimos, pela expressão (II), que c = 16, então fazendo essas substituições, teremos:

0 = 64a + 8*(-6a) + 16
0 = 64a - 48a + 16
0 = 16a + 16 ---- passando "16" para o 1º membro, teremos;
- 16 = 16a --- vamos apenas inverter, ficando:
16a = - 16 --- isolando "a", teremos:
a = -16/16
a = - 1 <--- Este é o valor do termo "a".

iv) Agora vamos na expressão (I), que é esta:
 
b = - 6a ---- substituindo-se "a' por "-1", teremos;
b = -6*(-1)
b = 6 <--- Este é o valor do termo "b".

v) Assim, como já temos que a = -1; que b = 6 e que c = 16, então a equação da sua questão [y = ax² + bx + c] será esta:

y = - 1*x² + 6*x + 16
y = - x² + 6x + 16 <--- Esta é a equação do 2º grau da sua questão, cujo gráfico é o da figura que está anexada.

vi) Finalmente, vamos encontrar qual é a altura máxima atingida pela pedra, que será dada pelo "y" do vértice (yv), cuja fórmula é esta:

yv = - (Δ)/4a ----- em que Δ = b²-4ac. Assim, teremos:
yv = - (b²-4ac)/4a ---- fazendo as devidas substituições, teremos [veja que os coeficientes são estes: a = -1 (é o coeficiente de x²); b = 6 (é o coeficiente de x); e c = 16 (é o coeficiente do termo independente):

yv = - (6² - 4*(-1)*16)/4*(-1)
yv = - (36 + 64)/-4
yv = - (100)/-4 --- ou apenas:
yv = -100/-4 --- como, na divisão, menos com menos dá mais, logo, teremos:
yv = 100/4
yv = 25 metros <--- Esta é a resposta. Esta é a altura máxima pedida atingida pela pedra.

A propósito, note que o "y" do vértice (yv) também seria encontrado quando você substituir o "x' por "3" (que é o "x" do vértice) na função que encontramos, que é esta:

y = - x² + 6x + 16 ---- substituindo-se "x' por "3", teremos:
y = - 3² + 6*3 + 16
y = - 9 + 18 + 16
y = - 9 + 34
y = 25 metros <--- Veja que a resposta é a mesma, mostrando que é indiferente o método utilizado para encontrarmos a altura máxima. O que interessa é que esses métodos sejam os corretos, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.