To tentando resolver esse limite, mas só chego a 0, e no livro diz que é 1. Alguém sabe calcular?
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respondido por:
1
Então, comece aplicando um exponencial com ln nesse limite. Faça
lim e^ln(x^senx)
x->0+
Pela propriedade do ln, você pode jogar o expoente senx para a frente do ln, ficamos então com:
lim e^senx.lnx
x-> 0+
Podemos jogar esse limite agora para o expoente, onde reescrevemos:
e^(lim x->0+ (senxlnx))
Só que no limite, estamos com uma indeterminação do tipo 0. infinito. Vamos reescrevê-lo então assim:
e^(lim x-> 0+ (lnx/(1/senx))
Então, agora, temos uma indeterminação do tipo infinito/infinito. Podemos aplicar a regra de L'Hopital:
e^(lim x-> 0+ (1/x)/(-cosx/sen²x)
= e^(lim x-> 0+ sen²x/-xcosx)
Caímos em outra indeterminação, só que do tipo 0/0. Aplicamos L'Hopital de novo.
e^(lim x-> 0+ 2senxcosx/-cosx + xsenx)
Agora podemos substituir diretamente x por 0, e ficamos com
e^(2.0.1/-1 + 0.0)
e^(0/-1) = e^0 = 1
lim e^ln(x^senx)
x->0+
Pela propriedade do ln, você pode jogar o expoente senx para a frente do ln, ficamos então com:
lim e^senx.lnx
x-> 0+
Podemos jogar esse limite agora para o expoente, onde reescrevemos:
e^(lim x->0+ (senxlnx))
Só que no limite, estamos com uma indeterminação do tipo 0. infinito. Vamos reescrevê-lo então assim:
e^(lim x-> 0+ (lnx/(1/senx))
Então, agora, temos uma indeterminação do tipo infinito/infinito. Podemos aplicar a regra de L'Hopital:
e^(lim x-> 0+ (1/x)/(-cosx/sen²x)
= e^(lim x-> 0+ sen²x/-xcosx)
Caímos em outra indeterminação, só que do tipo 0/0. Aplicamos L'Hopital de novo.
e^(lim x-> 0+ 2senxcosx/-cosx + xsenx)
Agora podemos substituir diretamente x por 0, e ficamos com
e^(2.0.1/-1 + 0.0)
e^(0/-1) = e^0 = 1
TheAprendiz:
ri muito agora, obg pela ajuda. Eu encontrei o limite igual a 0, mas esqueci que esse 0 era o expoente do e, affz. Ainda sim, muito obrigado.
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