Question

$\lim x^{sen(x)}\\ _{x \to\ 0^{+}}$

To tentando resolver esse limite, mas só chego a 0, e no livro diz que é 1. Alguém sabe calcular?

Answer 1

Então, comece aplicando um exponencial com ln nesse limite. Faça
lim           e^ln(x^senx)
x->0+
Pela propriedade do ln, você pode jogar o expoente senx para a frente do ln, ficamos então com:
lim              e^senx.lnx
x-> 0+
Podemos jogar esse limite agora para o expoente, onde reescrevemos:
e^(lim x->0+ (senxlnx))
Só que no limite, estamos com uma indeterminação do tipo 0. infinito. Vamos reescrevê-lo então assim:
e^(lim x-> 0+ (lnx/(1/senx))
Então, agora, temos uma indeterminação do tipo infinito/infinito. Podemos aplicar a regra de L'Hopital:
e^(lim x-> 0+ (1/x)/(-cosx/sen²x) 
= e^(lim x-> 0+ sen²x/-xcosx)
Caímos em outra indeterminação, só que do tipo 0/0. Aplicamos L'Hopital de novo.
e^(lim x-> 0+ 2senxcosx/-cosx + xsenx)
Agora podemos substituir diretamente x por 0, e ficamos com
e^(2.0.1/-1 + 0.0)
e^(0/-1) = e^0 = 1