Question

determinando o sen(x) a partir da cot g(x) = 1/2, e sendo x um angulo do terceiro quadrante, obtemos:

a) sen(x) = 2√3/5

b)sen(x) = 3√2/5

c) sen(x) = 2√5/5

d) sen(x) = 3√3/2

e) sen(x) = 5√2/2

Answer 1

Se  cotg x = 1/2,  e  x  é um arco do  3º  quadrante,  encontrar o valor de  sen x.


     Solução:

Usando a definição de cotangente:

     $\mathrm{cotg\,}x=\dfrac{\cos x}{\mathrm{sen\,}x}=\dfrac{1}{2}\\\\\\ 2\cos x=\mathrm{sen\,}x$


Eleve os dois lados ao quadrado:

     $(2\cos x)^2=(\mathrm{sen\,}x)^2\\\\ 2^2\cos^2 x=\mathrm{sen^2\,}x\\\\ 4\cos^2 x=\mathrm{sen^2\,}x$


Mas  cos² x = 1 − sen² x:

     $4\cdot (1-\mathrm{sen^2\,}x)=\mathrm{sen^2\,}x\\\\ 4-4\,\mathrm{sen^2\,}x=\mathrm{sen^2\,}x\\\\ 4=\mathrm{sen^2\,}x+4\,\mathrm{sen^2\,}x\\\\ 4=(1+4)\,\mathrm{sen^2\,}x\\\\ 4=5\,\mathrm{sen^2\,}x\\\\ \mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{4}{5}$


Tomando raízes quadradas de ambos os lados,

     $\mathrm{sen\,}x=\pm\,\sqrt{\dfrac{4}{5}}\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\pm\,\dfrac{2}{\sqrt{5}}$


Mas como  x  é do  3º  quadrante, o seno de  x  é negativo. Logo,

     $\mathrm{sen\,}x=-\,\dfrac{2}{\sqrt{5}}$


Racionalizando o denominador,

     $\mathrm{sen\,}x=-\,\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=-\,\dfrac{2\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}$

     $\mathrm{sen\,}x=-\,\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$          ✔


Nenhuma das alternativas apresentadas está correta (o seno é negativo).


Bons estudos! :-)