Question

2) Determine o vetor w que é ortogonal simultaneamente aos vetores u= (2,3,-4) e V =(1,2,-3) e que tem módulo 5.

Answer 1

Se são ortogonais, então o produto entre eles é igual a zero, então temos:

$\displaystyle x \cdot u = 0 \\ \\ (a,b,c) \cdot (2,3,-4) \\ \\ 2a+3b-4c=0 \\ \\ \\ x \cdot v =0 \\ \\ (a,b,c) \cdot (1,2,-3) \\ \\ a+2b-3c=0$

Temos um sistema, veja:

$\displaystyle \left \{ {{2a+3b-4c=0} \atop {a+2b-3c=0}} \right.$

Multiplicando o segundo termo por -2:

$\displaystyle \left \{ {{2a+3b-4c=0} \atop {-2a-4b+6c=0}} \right. \\ \\ \\ -b+2c=0 \\ \\ b=2c$

Se b = 2c, então:

$2a+3b-4c=0 \\ \\ 2a+3 \cdot (2c) - 4c = 0 \\ \\ 2a+6c-4c=0 \\ \\ 2a+2c=0 \\ \\ a=-c$

Lembrando que:

$\displaystyle ||x||=5 \\ \\ \\ \sqrt{a^2+b^2+c^2}=5 \\ \\ \\ a^2+b^2+c^2=5^2 \\ \\ \\ a^2+b^2+c^2=25$

Daí:

$\displaystyle a^2+b^2+c^2=25 \\ \\ \\ (-c)^2+(2c)^2+c^2=25 \\ \\ \\ c^2+4c^2+c^2=25 \\ \\ \\ 6c^2=25 \\ \\ \\ c=\sqrt{\frac{25}{6}} \\ \\ \\ c = \frac{5}{\sqrt{6}} \\ \\ \\ c = \frac{5\sqrt{6}}{6}$

Portanto:

$\displaystyle b=2c \\ \\ \\ b = 2 \cdot \frac{5\sqrt{6}}{6} \\ \\ \\ b=\frac{5\sqrt{6}}{3} \\ \\ \\ \cdots \cdots \\ \\ \\ a=-c \\ \\ \\ a=- \frac{5\sqrt{6}}{6}$

Então o vetor procurado é:

$\displaystyle \boxed{\boxed{x = (-\frac{5\sqrt{6}}{6},\frac{5\sqrt{6}}{3},\frac{5\sqrt{6}}{6})}}$