Question

Encontre a parábola com equação y = ax² + bx cuja reta tangente em (1,1) tem equação y = 3x - 2.

Answer 1

Vamos derivar nossa função:

$y = ax^2 + bx \\ \\ y' = 2ax + b$

Perceba que o coeficiente angular m em x = 1 será:

$m = 2ax + b \\ \\ m = 2a + b$

Comparando nossa inclinação m com a equação da reta y = 3x - 2, temos:

$m = 2a + b \\ \\ y = 3x - 2 \\ \\ \cdots \, \cdots \\ \\ 2a+b = 3 \\ \\ b=3-2a$

Perceba que fazendo f(1) = 1 em nossa função y = ax² + bx e sabendo que b = 3 - 2a, temos:

$ax^2+bx \\ \\ a+b=1 \\ \\ a+3-2a=1 \\ \\ -a=1-3 \\ \\ -a=-2 \\ \\ \boxed{a=2}$

Portando o valor de b é:

$b=3-2a \\ \\ b=3-2 \cdot 2 \\ \\ \boxed{b=-1}$

E a parábola procurada é:

$\boxed{\boxed{y=2x^2-x}}$