Question

Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores .quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comssão tenha no mínimo 3 administradores?

Answer 1

Olá :)

Quando o enunciado diz que precisa ter no mínimo 3 administradores, ele não fala que o total deve ser 3, mas sim 3 ou mais.

Temos ao todo 6 administradores, então podemos fazer grupos com 3 administradores, 4 administradores, 5 administradores e também 6 administradores.

No primeiro caso, em que temos grupos com 3 administradores, temos então que dividir os outros 10 economistas nas 3 vagas restantes, faremos isso com uma combinação.

Sendo a formula da combinação C n,p= n! /p! (n-p)!, faremos:

C10,3 = 10!/3! (10-3)!=120

Agora, vamos ver como podemos distribuir esses 6 administradores nas 3 vagas que deixamos para eles: C6,3 = 6!/3!(6-3)!= 20

Multiplicando os dois valores: 120 * 20 = 2 400.

Agora, vamos analisar grupos que possuirão 4 administradores. Vamos calcular de quantas maneiras podemos organizar os 6 nessas 4 vagas: C6,4= 6!/4!(6-4)!= 15

Agora, sobraram 6-4 = 2 vagas para os 10 economistas se organizarem. Vamos também fazer uma combinação para ver de quantas maneiras isso pode ocorrer: C10,2 = 10!/2!(10-2)!= 45

Multiplicando os dois valores, teremos: 45*15 = 675

Agora, vamos analisar o caso em que teremos 5 administradores no grupo.

Organizando os 6 nas 5 vagas de maneiras diferentes, teremos: C6,5 = 6!/5!(6-5)!= 6.

Organizando 10 administradores na única vaga restante, teremos: C10,0 = 10!/0!(10-0)!= 1

multiplicando os dois números, teremos: 6x1 = 6

Agora, o ultimo caso, em que a equipe é formada unicamente pelos 6 administradores. C= 6!/6! (6-6)!=1

Somando todas as possibilidades que descobrimos: 2400+675+60+1 = 3136

RESPOSTA: 3136